在正三棱锥中，已知侧面都是直角三角形，那么正三棱锥的斜高为a时，正三棱锥的高为？怎么算？

Question

如题所述

Answer 1

根号(2/3) a

因为侧面是直角三角形，又是正三棱锥，所以侧面SAB是等腰直角三角形，高为a时，则底边长为2a。

对边长为2a的正三角形，设OD=x, 在三角形AOD中，角OAD=30度，OA=OC=2x, CD=3x=根号3a, x=1/3* 根号3a. SOD也是直角三角形，SO的平方=SD平方-OD平方=a平方-1/3* a平方=2/3* a的平方。SO(即正三棱锥的高)=根号(2/3)* a

Answer 2

解：如图，设SH是三棱锥高，SD是斜高，正三棱锥侧面都是直角三角形，则SC⊥SA、SC⊥SB，∴SC⊥平面SAB，∴SC⊥SD，

由SD=a，∴AB=BC=CA=2a，SC=√2a，CD=√3a，

Rt△CSD中，SC*SD=CD*SH，SH=√2a*a/√3a=√6/3*a，解毕。

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