设随机变量X服从均匀分布U（a,b），求X的特征函数，并由特征函数求X的数学期望与方差。

Question

要根据特征函数[i/(b-a)]*(e^ita-e^itb)来求，X的数学期望E(X)=-iG‘(0),G（t）为特征函数。跪求解答，谢谢！

Answer 1

X服从均匀分布，

即X~U(a，b),则E(X)=(a+b)/2, D(X)=(b-a)²/12 

证明如下：

设连续型随机变量X~U(a，b)

那么其分布函数F(x)=(x-a)/(b-a),a≤x≤b

E(x)=∫F(x)dx=∫(a到b)(x-a)/(b-a)dx

=(x²/2-a)/(b-a) |(a到b)

=(b²/2-a)/(b-a)-(a²/2-a)/(b-a)=(a+b)/2

E(x²)=∫F(x²)dx=∫(a到b)(x²-a)/(b-a)dx

=(x³/3-a)/(b-a) |(a到b)

=(b³/3-a)/(b-a)-(a³/3-a)/(b-a)=(a²+b²+ab)/3

所以D(x)=E(x²)-E(x)²

=(a²+b²+ab)/3-(a+b)²/4

=(a²+b²-2ab)/12=(b-a)²/12

对吗？