椭圆x^2/4+y^2/3=1上任意一点的切线与y轴交与点A,过该点的垂线与y轴交与B点,以AB为直径的圆是否过定点？

Question

如题所述

Answer 1

设椭圆上的点是（x0,y0)则，椭圆上任一点的切线方程满足：
xx0/a^2+yy0/b^2=1
令x=0得A(0,b^2/y0)
切线方程的斜率是k1=-b^2x0/(a^2y0)
因此法线方程斜率为k2=-1/k1=a^2y0/(b^2x0)
法线方程为y-y0=k2(x-x0)=a^2y0/(b^2x0)(x-x0)
令x=0得B(0,-a^2y0/b^2+y0)即(0,-c^2y0/b^2)
所以AB的中点M坐标为(0,[b^2/y0-c^2y0/b^2]/2)
r=|b^2/y0-[b^2/y0-c^2y0/b^2]/2|=|[b^2/y0+c^2y0/b^2]/2|
因此，以M为圆心的圆是
x^2+(y-[b^2/y0-c^2y0/b^2]/2)^2=|[b^2/y0+c^2y0/b^2]/2|^2={[b^2/y0+c^2y0/b^2]/2}^2
展开得
x^2+y^2-y[b^2/y0-c^2y0/b^2]+{[b^2/y0-c^2y0/b^2]/2}^2={[b^2/y0+c^2y0/b^2]/2}^2
x^2+y^2-y[b^2/y0-c^2y0/b^2]-b^2/y0*c^2y0/b^2=0
x^2+y^2-y[b^2/y0-c^2y0/b^2]-c^2=0
两边同乘以y0得
(x^2+y^2-c^2)y0-b^2y-c^2yy0^2/b^2=0
c^2yy0^2/b^2-(x^2+y^2-c^2)y0+b^2y=0
由于圆过定点，所以上式与y0无关，
因此二次项系数、一次项系数，常数项等于0，故
c^2y/b^2=0,x^2+y^2-c^2=0,b^2y=0
由于a,b,c≠0
所以y=0,x=±c
因此圆恒过两个定点(c,0),(-c,0)
哈哈，解出来了。