三角形角平分线长度公式推导

Question

我们老师说可以利用这个定理：三角形ABC中角A的平分线为AD，则AB:AC=BD:CD，然后再怎么证明我忘了最后得到的公式是：...................____ta=2/(b+c)·√bcp(p-a) ；...................____tb=2/(c+a)·√cap(p-b) ；...................____tc=2/(a+b)·√abp(p-c)
ta tb tc分别为A,B,C的角平分线长度 p是三角形的半周长， 求高人指点

Answer 1

设三角形ABC，〈A平分线AD，AB=c,AC=b,BC=a,半周长p=(a+b+c)/2,

三条角平分线为ta,tb,tc,AD=ta,BE=tb,CF=tc,

根据角平分线性质，BD/CD=c/b,(角平分对边二部分之比为其邻边之比），

(b+c)/b=(BD+CD)/CD=a/CD,（合比）

CD=ab/(b+c),

在△ADC中，根据余弦定理，

AD^2=b^2+CD^2-2CD*b*cosC

=b^2+a^2b^2/(b+c)^2-2ab^2*cosC/(b+c),

根据余弦定理，cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab),

AD^2= b^2+a^2b^2/(b+c)^2-b(a^2+b^2-c^2)/(b+c)

AD^2=bc[(b+c)^2-a^2]/(b+c)^2=bc[(b+c-a)(b+c+a)]/(b+c)^2,

 Ta=AD=√[(bc*2p*(2p-2a))/(b+c)

=[2/(b+c)]√[bcp(p-a)].

同理可证，tb=[2/(a+c)]√[acp(p-b)].

tc=[2/(a+b)]√[abp(p-c)].

Answer 2

tb=2√[acs(s-b)]/(a
c)
tc=2√[abs(s-c)]/(a
b)
你查三角形的角平分线长公式
可以搜到推导过程。。
a^2
b^2=c^2