设A,B是n阶方阵，满足AB=A-B，证明AB=BA

Question

如题所述

Answer 1

证：首先由AB=A+B得：

AB-A-B+E=E

则(A-E)(B-E)=E,

从而A-E可逆

再由(A-E)(B-E)=E=(B-E)(A-E),

知AB=BA

在线性代数和矩阵论中，有两个m×n阶矩阵A和B，如果这两个矩阵满足B=QAP（P是n×n阶可逆矩阵，Q是m×m阶可逆矩阵），那么这两个矩阵之间是等价关系。也就是说，存在可逆矩阵，A经过有限次的初等变换得到B。

扩展资料

性质

矩阵A和A等价(反身性）；

矩阵A和B等价，那么B和A也等价(等价性）；

矩阵A和B等价，矩阵B和C等价,那么A和C等价（传递性）；

矩阵A和B等价，那么IAI=KIBI。(K为非零常数)

具有行等价关系的矩阵所对应的线性方程组有相同的解 

对于相同大小的两个矩形矩阵，它们的等价性也可以通过以下条件来表征：

（1）矩阵可以通过基本行和列操作的而彼此变换。

（2）当且仅当它们具有相同的秩时，两个矩阵是等价的。

Answer 2

因为AB=A-B，所以AB-A+B=0，从而 (A+I)(B-I)=-I，故 A+I 与 -(B-I) 互为逆矩阵，
从而 (B-I)(A+I)=-I，也即 BA-A+B=0，从而BA=A-B=AB，故结论成立。

Answer 3

AB=A-B <=> AB-A+B-I=-I <=> (A-I)(B+I)=-I <=> (B+I)(A-I)=-I <=> BA-A+B-I=-I <=> BA=A-B
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