计算二重积分。 ∫∫（x^2+y^2）dσ，D由直线y=x,y=x+a,y=a,y=3a(a>0)所围成的区域，求解答过程。。。。。

Question

计算二重积分。 ∫∫（x^2+y^2）dσ，D由直线y=x,y=x+a,y=a,y=3a(a>0)所围成的区域，求解答过程。。。。
我看了有别人提问过这个，但是回答是要分段积分。
如果我一次积分dx，二次积分dy，那是不是可以不用分段呢？
但是我这样做出来后和标准答案不一样。

Answer 1

∫∫（x^2+y^2）dσ=∫[a,3a]dy∫[y-a,y]（x^2+y^2）dx （其中[ ] 表示上下限）
=∫[a,3a](y^3/3-(y-a)^3/3+a*y^2)dy
=(y^4/12-(y-a)^4/12+a*y^3/3)[a,3a]
=3^4*a^4/12-2^4*a^4/12+3^3*a^4/3-a^4/12+0-a^4/3
=（81/12-16/12+9-1/12-1/3)*a^4
=14a^4追问

∫[y-a,y]（x^2+y^2）dx
这一步我算出来是a^3/3+ay^2，怎么你不见了那个a^3/3??

追答

∫[y-a,y]（x^2+y^2）dx =(x^3/3+y^2*x)[y-a,y]=y^3/3-(y-a)^3/3+y^2*y-y^2*(y-a)
=y^3/3-(y-a)^3/3+a*y^2
所以∫∫（x^2+y^2）dσ=∫[a,3a]dy∫[y-a,y]（x^2+y^2）dx
=∫[a,3a](y^3/3-(y-a)^3/3+a*y^2)dy