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正定的实对称矩阵
什么叫
实对称正定矩阵
?
答:
如果A和B都是
实对称正定
阵,且AB=BA=B^TA^T=(AB)^T 这说明AB是对称阵 再利用AB的特征值都是正数(因为AB相似于对称正定阵A^{1/2}BA^{1/2})得到AB对称正定。例如:^证明:因为A,B正定,所以 A^T=A,B^T=B (必要性) 因为AB正定,所以 (AB)^T=AB 所以 BA=B^TA^T=(AB)^T=A...
为什么说
正定矩阵
必是
实对称矩阵
?如何证明?
答:
判断矩阵是否为
正定矩阵
的前提是这个矩阵是实对称矩阵,正定矩阵的定义上就要求其是实对称矩阵。正定矩阵 1、广义定义:设M是n阶方阵,如果对任何非零向量z,都有zTMz> 0,其中zT 表示z的转置,就称M为正定矩阵。2、狭义定义:一个n阶
的实对称矩阵
M是
正定的
的条件是当且仅当对于所有的非零实系数...
为什么说
正定矩阵
是一种特殊
的实对称矩阵
呢?
答:
由
正定矩阵的
定义即知ATA是正定矩阵。正定矩阵是一种
实对称矩阵
。正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(或A的转置)称为正定矩阵。在线性代数里,正定矩阵 (positive definite matrix) 有时会简称为正定阵。在双线性代数中,正定矩阵的性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是...
为什么说
正定矩阵
一定是
实对称矩阵
?
答:
正定矩阵
不一定是
实对称矩阵
。正定矩阵在实数域上是对称矩阵。在复数域上是厄米特矩阵,也称共轭对称。因为正定矩阵在定义的时候就是要在厄米特矩阵的域内,实数域上是对称矩阵。如果一个矩阵A是
正定的
,那么对称矩阵B=(A+A^T)/2也是正定的,这是判定一个实系数矩阵是否为正定矩阵的充要条件。对称...
如何证明
对称矩阵
是
正定的
?
答:
如果A和B都是实对称正定阵,且AB=BA=B^TA^T=(AB)^T。这说明AB是对称阵。矩阵:(由定义)对任何非零的n维实列向量x,恒有x'Ax>0,恒有x'Bx>0。于是对任何非零的n维实列向量x。对于n阶
实对称矩阵
A,下列条件是等价的:(1)A是
正定矩阵
;(2)A的一切顺序主子式均为正;(3)A的一切...
为什么
正定矩阵
都是
对称矩阵
?
答:
【答案】:因为AB=BA则(AB)=B'A'=BA=AB即BA为
实对称
的.其次由于AB都是
正定的
故存在实可矩逆矩阵PQ使A=P'PB=Q'Q于是AB=P'PQ'Q与QP'PQ'=Q(P'PQ'Q)Q-1=QABQ-1相似从而两者都有相同的特征根.但是QP'PQ'=(PQ')'(PQ')为
正定矩阵
其特征根都是正实数故AB的特征根都是正实数从而...
正定矩阵
一定是
实对称矩阵
吗 有什么关系
答:
实对称矩阵
是“母”概念。
正定矩阵
是“子”概念。正定矩阵是实对称矩阵的一种。实对称矩阵还包括负定、半正定、半负定矩阵。正定矩阵都是对称矩阵吗 不一定是对称的。正定矩阵在实数域上是对称矩阵。在复数域上是厄米特矩阵(共轭对称)。因为正定矩阵在定义的时候就是要在厄米特矩阵的域内(实数域...
怎么判断一个
矩阵
是
正定的
?
答:
主子矩阵判据:对于一个n×n
的实对称矩阵
,判断它是否为
正定矩阵
,可以检查它的各阶顺序主子式,如果所有的顺序主子式均大于零,则该矩阵是
正定的
。
矩阵的
正定性和二次型:将矩阵表示为二次型的形式,通过分析二次型的正负来判断矩阵的正定性。例如,在正定矩阵中,二次型的系数矩阵的主对角线元素都...
正定矩阵
是
实对称矩阵
吗?
答:
是的。
正定矩阵的
定义是建立在
对称矩阵
的基础上的:对称矩阵A对任意非零向量x,满足x'Ax>0,则定义A正定。然后对称矩阵是
实矩阵
的时候,满足上边定义我们叫他“正定矩阵”A=A’是复矩阵的时候,满足x'Ax>0,叫做“正规矩阵”。在线性代数中,正定矩阵的性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的...
实对称矩阵
为
正定矩阵的
充要条件为什么是与单位矩阵合同
答:
充分性直接按
正定的
定义验证,必要性可以用Gauss消去法构造出Cholesky分解A=LL^T。1、
实对称矩阵
A的不同特征值对应的特征向量是正交的。2、实对称矩阵A的特征值都是实数,特征向量都是实向量。3、n阶实对称矩阵A必可相似对角化,且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。
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