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矩阵的列向量组线性相关
线性代数,对于
矩阵
A其行列式值为0,为什么它
的列向量组线性相关
?
答:
Ax=0有非零解,存在不完全等于0的x1, x2, ..., xn,使得 x1a1+x2a2+...+xnan=0,A
的列向量
,所以a1, a2, ...,an
线性相关
。
矩阵的
秩和其列向量空间或者行向量空间的维数是一样的,矩阵A其行列式为0,说明这个矩阵是个方阵,我们设它为n×n的方阵,矩阵的秩是指最大规模非零子式的...
什么是线性相关,如何求出
向量组线性相关
?
答:
设矩阵A为m*n阶矩阵。矩阵A的秩为r,若r=n,则
矩阵列向量组线性无关
,若r<n,则
矩阵列向量组线性相关
。同理若r=m,则矩阵行向量组线性无关,若r<m,则矩阵行向量组线性相关。向量组只包含一个向量a时,a为0向量,则说A线性相关; 若a≠0, 则说A线性无关。包含零向量的任何向量组是线性...
为什么说
矩阵
A的n个
列向量线性相关
?
答:
假设Ax=0的一组非零解为x1,x2,x3,……,xn A可改写成分块
矩阵
A=(α1,α2,α3,……,αn)Ax=0即为 x1·α1+x2·α2+x3·α3+……+xn·αn=0 因为x1,x2,x3,……xn不全为0 所以α1,α2,α3,……,αn
线性相关
,即A的n个列
向量
线性相关。
矩阵
A其行列式值为0,为什么它
的列向量组线性相关
答:
行列式的值为0 那么就表明行或列 在经过有限次的变换之后 可以出现零行或零列 显然按照定义
列向量组
就是
线性相关
的
设A为
矩阵
,则A
的列向量组
必然
线性相关
答:
设a为m×n
矩阵
,b 为n×s矩阵,则由ab=o知:r(a)+r(b)≤n,又a,b为非零矩阵,则:必有rank(a)>0,rank(b)>0,可见:rank(a)<n,rank(b)<n,即a
的列向量组线性相关
,b的行向量组线性相关。定理 n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征...
矩阵
可以
线性相关
吗?
答:
再比如增加第1
列的
向量,或A的列向量组的一个线性组合,都线性相关。增加行向量后,列向量组必仍线性无关。设A增加若干行向量后
矩阵
为B。A
的列向量组线性无关
<=> AX=0 只有零解。BX=0比AX=0多了若干个方程, 即对未知量增加了约束条件!所以BX=0也只有零解。所以B的列向量组线性无关。
两
矩阵线性相关
可推出?
答:
由于A和B相互线性相关,所以它们的秩(rank)必定相同,且其中一个的列向量组可以由另一个线性组合得到。因此,如果一个
矩阵的列向量组线性相关
,则这个矩阵的秩为1。反之,如果两个矩阵的秩均为1,则这两个矩阵线性相关。因为秩为1表示这个矩阵的列向量组是线性相关的,只需要找到一个线性组合即可...
问题讨论
矩阵的
行、
列向量组线性相关
性之间的等价关系
答:
① 若m>n,则A的行向量组线性相关,但A的列向量组未必线性相关,条件取决于A的秩是否小于n,若r(A)<n,则A
的列向量组线性相关
,若r(A)=n,则A
的列向量组线性无关
,请看下面的例子:1 2 1 2 1 2 这是一个3×2
矩阵
A,r(A)=1<2,它的行向量组线性相关,列向量组也线性...
矩阵
B=PA,A
的列向量组线性相关
,证B的列向量组也线性相关
答:
由于A的列线性相关 所以 齐次线性方程组 AX=0 有非零解 所以 PAX=0 有非零解 即 BX=0 有非零解 故 B
的列向量组线性相关
...那么这个
矩阵列向量组
一定
相关
。 那么如果行数大于列数一定
无关
...
答:
“一个矩阵如果行数小于列数 那么这个
矩阵列向量组
一定相关”这是正确的。设矩阵A为mXn型,即m<n 那么A的秩是≤m的,因为A的秩等于它的行秩等于列秩,所以列秩≤m,而列向量有n个>m,所以必然
线性相关
。同理可知,若行数大于列树,那么行向量线性相关。副标题回答:一定无关。
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