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对称正定矩阵具体的特征
为什么说
正定矩阵
必是实
对称矩阵
?如何证明?
答:
判断矩阵是否为
正定矩阵的
前提是这个矩阵是实
对称矩阵
,正定矩阵的定义上就要求其是实对称矩阵。正定矩阵 1、广义定义:设M是n阶方阵,如果对任何非零向量z,都有zTMz> 0,其中zT 表示z的转置,就称M为正定矩阵。2、狭义定义:一个n阶的实对称矩阵M是
正定的的
条件是当且仅当对于所有的非零实系数...
对称矩阵的特征
值
答:
是其特征值都是实数,且对应不同特征值
的特征
向量是正交的。这个性质在矩阵对角化、矩阵谱定理等领域中有着重要应用。此外,在物理学中,
对称矩阵
常常代表某种物理量的测量值,而其对称性则代表了这种物理量的某些对称性质,如角动量、能量等。对称矩阵还有许多重要的变种,如半
正定矩阵
、半
负定矩阵
、...
如何判断一个矩阵是
对称矩阵
答:
【答案】:因为AB=BA则(AB)=B'A'=BA=AB即BA为实
对称
的.其次由于AB都是正定的故存在实可矩逆矩阵PQ使A=P'PB=Q'Q于是AB=P'PQ'Q与QP'PQ'=Q(P'PQ'Q)Q-1=QABQ-1相似从而两者都有相同
的特征
根.但是QP'PQ'=(PQ')'(PQ')为
正定矩阵
其特征根都是正实数故AB的特征根都是正实数从而...
什么是
正定矩阵
答:
广义定义:设M是n阶方阵,如果对任何非零向量z,都有zTMz> 0,其中zT 表示z的转置,就称M为
正定矩阵
。例如:B为n阶矩阵,E为单位矩阵,a为正实数。在a充分大时,aE+B为正定矩阵。(B必须为对称阵)狭义定义:一个n阶的实
对称矩阵
M是
正定的的
条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z,都有...
对称正定矩阵的
介绍
答:
对称正定矩阵
,顾名思义,就是
对称的
正定矩阵,它与正定矩阵的区别就是具有对称性,是正定矩阵中的一种特殊情况,在计算方法迭代法,直接法中常被用到。
如何判断
矩阵
是
正定的
?
答:
2、正惯性指数法 对于给定的二次型 ,先将化为标准形,然后根据标准形中平方项系数为正的个数是否等于n来判定二次型的
正定
性。通过正交变换,将二次型化为标准形后,标准形中平方项的系数就是二次型
矩阵的特征
值。因此,可先求二次型矩阵的特征值,然后根据大于零的特征值个数是否等于n来判定二...
对称矩阵的正定
性,半正定,负定性与该
对称矩阵特征
值的关系
答:
对称矩阵的正定
性,半正定,负定性与该
对称矩阵特征
值的关系是:矩阵的正定当且仅当其特征值都大于0;矩阵的半正定当且仅当其特征值都大于或等于0;
矩阵的负定
当且仅当其特征值都小于0。
什么叫
正定矩阵
?
答:
在线性代数中,
正定矩阵的
性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是
对称正定
双线性形式。正定矩阵的行列式恒为正;实
对称矩阵
A正定当且仅当A与单位矩阵合同;若A是正定矩阵,则A的逆矩阵也是正定矩阵;两个正定矩阵的和是正定矩阵;正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。
证明 实
对称矩阵
是
正定矩阵的
充要条件是它
的特征
值都是正数
答:
1.高等代数上有个定理:对于任意一个n级实
对称矩阵
A都存在一个n级正交矩 阵T,使T'AT成对角型,而对角线上的元素就是它
的特征
根。由此,开证,(1)充分性:当对称矩阵A的特征根都为正数时,对角型矩阵T'AT对角线上的元素均为正数,所以T'AT为
正定矩阵
,又T为正交阵,所以A是正定阵。(2)必要性:由于对称矩阵A...
举个
对称正定矩阵的
例子
答:
最简单的例子:单位矩阵 E= 1 0 0 0 1 0 0 0 1 单位矩阵就是
对称正定矩阵
。证明也很简单,对于任一个非零向量X,都有X'EX=X'X=|X|^2>0,只有当X=0向量时,X'EX才等于0,所以是正定矩阵。如果想找一个复杂点的,那用任意一个3阶可逆矩阵A,让它与它的转置矩阵A'相乘,得到的...
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