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对称正定矩阵具体的特征
为什么
正定的
正交
矩阵
一定是单位矩阵?
答:
正定矩阵
是指一个
对称矩阵
,其所有主子式都大于0。换句话说,对于一个正定矩阵A,如果存在一个非零向量x,使得x^T * A * x > 0,那么这个矩阵就是正定的。正定矩阵具有一些重要的性质,如所有
的特征
值都是正数,且满足A^T * A = AA^T = I,其中I是单位矩阵。正交矩阵是指一个线性变换矩阵...
什么是
正定矩阵
,正定矩阵一定可以对角化吗?
答:
正定矩阵
一定可以对角化 实
对称
阵
的特征
值都是实数,所以n阶阵在实数域中就有n个特征值(包括重数),并且实对称阵的每个特征值的重数和属于它的无关的特征向量的个数是一样的,从而n阶矩阵共有n个无关特征向量,所以可对角化。判断方阵是否可相似对角化的条件:(1)充要条件:An可相似对角化的充...
正定矩阵
为什么是
对称矩阵
?
答:
都有zMz> 0,其中z 表示z的转置,就称M正定矩阵。例如:B为n阶矩阵,E为单位矩阵,a为正实数。aE+B在a充分大时,aE+B为正定矩阵。(B必须为对称阵)
正定矩阵的
狭义定义:一个n阶的实
对称矩阵
M是
正定的的
条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z,都有zMz> 0。其中z表示z的转置。
判定是否
正定矩阵
答:
矩阵是否为
正定矩阵
,必须是在
对称矩阵
下才可以判定. 其判定方法有很多:1>可以通过求解矩阵
的特征
根,如果满足其特征根都是正的,则其为正定矩阵;2>通过验证矩阵的每一项的顺序主子式为正也可以判定其为正定矩阵.在这里仅就问题(1)作答如下:因此(1)中矩阵不是正定矩阵....
正定矩阵
一定是实
对称矩阵
吗
有什么
关系
答:
正定矩阵
都是
对称矩阵
吗 不一定是
对称的
。正定矩阵在实数域上是对称矩阵。在复数域上是厄米特矩阵(共轭对称)。因为正定矩阵在定义的时候就是要在厄米特矩阵的域内(实数域上是对称矩阵)。如果只是要求矩阵M有(x^T)Mx>0,那么任何矩阵M,只要其满足A=(M+M^T)/2,且(x^T)Ax>0,即可。
如何判断一个
矩阵
是
正定
,
负定
二次型?
答:
判断一个
矩阵
是
正定
,
负定
二次型的步骤如下:1、正定二次型和负定二次型的基本定义:2、判定正定二次型的充要条件:3、矩阵是正定,负定二次型基本推论:4、求二次型是否正定:5、判断二次型的正定性:6、判断二次型的正负:7、正定二次型的简单性质,这样判断一个矩阵是正定,负定二次型的...
正定矩阵
一定是
对称
阵吗?
答:
例如,M=[1 -1;1 1] ,A=[1 0;0 1]。等价命题 对于n阶实
对称矩阵
A,下列条件是等价的:(1)A是
正定矩阵
。(2)A的一切顺序主子式均为正。(3)A的一切主子式均为正。(4)A
的特征
值均为正。(5)存在实可逆矩阵C,使A=C′C。(6)存在秩为n的m×n实矩阵B,使A=B′B。
什么叫实
对称矩阵
举例
答:
2、实对称矩阵不同特征值的特征向量正交,n重特征值有n个线性无关的特征向量。因此实对称矩阵必然能够对角化。3、实对称矩阵是n × n n\times nn×n矩阵能够正交对角化的充分必要条件。实对称矩阵的正定判断条件 如果实
对称矩阵的特征
值都大于0,则是
对称正定矩阵
;如果特征值都非负,则是对称半正定...
n阶实
对称矩阵
A为
正定矩阵的
充要条件为什么是A逆为正定矩阵,请大家指 ...
答:
[A^(-1)]^T=[A^T]^(-1)=A^(-1)所以A的逆矩阵也是实对称阵。接下来正式开始证明:可以从特征值的角度来看。必要性:如果n阶实
对称矩阵
A为
正定矩阵
,那么A的正惯性指数为n,即A的所有特征值x1,x2,...,xn都大于0。由于A
的特征
值没有0,所以A可逆,且A的逆的特征值为1/x1,1/x2,....
正定
二次型的行列式是否一定大于0?
答:
证明如下:假设A是一个n阶
对称矩阵
,且A是
正定
的。我们要证明det(A) > 0。根据正定二次型的定义,对于任意非零向量x,都有x^TAX > 0。取x为矩阵A
的特征
向量,即Ax = λx,其中λ为对应的特征值。将这个特征向量代入正定二次型的定义中,得到x^TAx = x^T(λx) = λ(x^Tx) = λ||...
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