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设A与B是正定矩阵
设a
,
b
分别为m,n阶
正定矩阵
,则分块矩阵c=(aoob) 也是正定矩阵.
答:
C的特征值是A和B的特征值
A和B正定
则A和B所有特征值>0 所以C的特征值>0 所以C正定
A,
B
均是N阶是对称
矩阵
,且
正定
,那么AB一定是什么类型的矩阵?
答:
正定的。因为A,
B都是正定矩阵
,故必存在可逆矩阵P,Q使得A=P‘P,B=Q’Q于是有AB=P‘PQ’Q=P‘PQ’QP‘(E/P’)=(E/P)(PQ'QP')(E/P'),故AB相似于PQ'QP',而矩阵PQ'QP'=(QP')'QP',所以PQ‘QP’是正定实对称矩阵,故其特征值为正,所以AB的特征值也为正,所以A
B是正定矩阵
。(...
与正定矩阵相似的矩阵一定
是正定矩阵
吗
答:
是的。
设A
、
B是
两个n阶实对称矩阵,且
A与B
相似。当A
为正定矩阵
时,根据正定矩阵的定义,A的特征值全是正实数。由于相似矩阵有相同的特征值,B的特征值也全是正实数。根据正定矩阵的定义,如一个矩阵的特征值全是正实数,则该矩阵
是正定矩阵
。与正定矩阵相似的矩阵一定是正定矩阵。
两个同阶的正定矩阵的乘积仍
为正定矩阵
。条件是ab=ba?怎么证明??求详细...
答:
(必要性) 因为A
B正定
,所以 (AB)^T=AB 所以 BA=B^TA^T=(AB)^T=AB (充分性) 因为 AB=BA 所以 (AB)^T=B^TA^T=BA=AB 所以 A
B 是
对称
矩阵
由A,B正定, 存在可逆矩阵P,Q使 A=P^TP,B=Q^TQ.故 AB = P^TPQ^TQ 而 QABQ^-1=QP^TPQ^T = (PQ)^T(PQ) 正定, 且与AB相...
设A是
n阶
正定矩阵
,A
B是
n阶实对称矩阵,证明A
B正定
的充要条件是B的...
答:
因为
A正定
,所以存在可逆阵C,使得A=C^TC 而 AB=C^TCB=C^T(CBC^(-1))C 所以 AB 与 CBC^-1 合同.所以有 A
B正定
<=> CBC^-1 正定 <=> CBC^-1 的 特征值 都大于0 <=> B 的特征值都大于0
怎么证两个
正定矩阵
的
和
还是正定矩阵?
答:
设A
、B为两个n阶正定 矩阵:(由定义)对任何非零的n维实列向量x,恒有x'Ax>0,恒有x'Bx>0,于是对任何非零的n维实列向量x,x'(A+B)x=x'Ax+x'Bx>0,由此得A+
B为正定矩阵
。
...如果一个矩阵
是正定矩阵
的话,知道了
矩阵A与
与
矩阵B
合同,为什么就能够...
答:
所有特征值大于零的对称矩阵(或厄米矩阵)也是正定矩阵。另一种定义:一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的
矩阵A
(A′)称
为正定矩阵
.例题是很多的,举几个例子
设A
,
B
分别为m,n阶正定矩阵,试判定分块矩阵 C={A O}是否
是正定矩阵
?解:设A的m个特征值为λ1,λ2,...λ...
...为m阶正定矩阵,B为m×n实矩阵,试证BTA
B为正定矩阵
的充分必要条件是矩...
答:
【答案】:必要性:
设B
TA
B为正定矩阵
,对任意的n维列向量X≠0有XT(BTAB)X>0,即(BX)TA(BX)>0于是BX≠0,则BX=0只有零解,所以B的列向量组线性无关,r(B)=n.充分性:∵(BTAB)T=BTATB=BTAB,所以BTAB为对称矩阵.当r(B)=n时,BX=0只有零解.即对任意X≠0,BX≠0,由
A
是正...
设A为正定矩阵
,证明伴随
矩阵A
*也是正定矩阵
答:
这里用到A
是正定矩阵
的一个等价条件:
A正定
等价于A的特征值λ都>0。如果A是正定。判断A的伴随也就是A*的特征值是否也都>0。考虑Aa=λa,A*Aa=λA*a,|A|a/λ=A*a,这里可看出A*的特征值为|A|/λ。因为A正定,所以|A|>0,λ>0,那么A*的特征值=|A|/λ >0,因此A*是正定的。...
两个同阶的正定矩阵的乘积仍
为正定矩阵
。条件是ab=ba?怎么证明??求详细...
答:
(必要性) 因为A
B正定
,所以 (AB)^T=AB 所以 BA=B^TA^T=(AB)^T=AB (充分性) 因为 AB=BA 所以 (AB)^T=B^TA^T=BA=AB 所以 A
B 是
对称
矩阵
由A,B正定, 存在可逆矩阵P,Q使 A=P^TP,B=Q^TQ.故 AB = P^TPQ^TQ 而 QABQ^-1=QP^TPQ^T = (PQ)^T(PQ) 正定, 且与AB相...
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