设A是数域上的一个n阶矩阵,若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B,使得:AB=BA=E ,则我们称B是A的逆矩阵,而A则被称为可逆矩阵。
1、初等列变换。
同样地,定义初等列变换,即:
(1)以P中一个非零的数乘矩阵的某一列。
(2)把矩阵的某一列的c倍加到另一列,这里c是P中的任意一个数。
(3)互换矩阵中两列的位置。
2、初等变换。
以下为行列式的初等变换:
(1)换行变换:交换两行(列)。
(2)倍法变换:将行列式的某一行(列)的所有元素同乘以数k。
(3)消法变换:把行列式的某一行(列)的所有元素乘以一个数k并加到另一行(列)的对应元素上。
3、基于行列式的基本性质,对行列式作初等变换,有如下特征:
换法变换的行列式要变号;倍法变换的行列式要变k倍;消法变换的行列式不变。求解行列式的值时可以同时使用初等行变换和初等列变换。
初等矩阵性质:
1、设A是一个m×n矩阵,对A施行一次初等行变换,其结果等价于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵;对A施行一次初等列变换,其结果等价于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。
2、方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1,P2……Pn,使得A=P1P2......Pn。
3、m×n矩阵A与B等价当且仅当存在m阶可逆矩阵P与n阶可逆矩阵Q,使得B=PAQ。