留数定理是复分析中的一个重要工具，它可以用来计算复平面上的积分。以下是一些关于留数的经典例题：
1.计算积分∫(0到π/2)cos(x)/sin(x)dx。
解：这是一个典型的利用留数定理求解的问题。首先，我们需要找出被积函数在原点附近的极点。在这个例子中，极点是x=0和x=π/2。然后，我们可以使用留数定理来计算积分，即∫(0到π/2)cos(x)/sin(x)dx=2*I(0)-I(π/2)=2*1-(-1)=3。
2.计算积分∫(0到π)e^(-x^2)dx。
解：这个积分没有明显的极点，因此我们不能直接使用留数定理。然而，我们可以使用留数定理的一个变种，即部分分式分解法。通过这种方法，我们可以将这个积分分解为两个部分，每个部分都可以用留数定理来计算。最后，我们将这两个部分的积分相加，得到最终的结果。
3.计算积分∫(0到π/2)sin(x)/xdx。
解：这个积分也没有明显的极点，因此我们也不能直接使用留数定理。然而，我们可以使用留数定理的另一个变种，即围道积分法。通过这种方法，我们可以将这个积分转化为一个围道积分，然后使用留数定理来计算围道积分的值。最后，我们将围道积分的值除以围道的周长，得到最终的结果。
以上这些例题都是关于留数的经典例题，它们展示了留数定理在解决复分析问题中的重要作用。