二次型经过正交变换化为标准型的条件是什么

Question

如题所述

Answer 1

二次型经过正交变换化为标准型，等价于将二次型矩阵相似变换为对角型矩阵，由所给的标准型可知二次型矩阵相似变换为对角型的矩阵为diag(6,0,0)。再由相似的矩阵有相等的迹（矩阵的迹就是其主对角线上的元素之和）。

而原二次型的矩阵的迹为a+a+a=3a。对角型的矩阵diag(6,0,0)的迹为6+0+0=6。得3a=6，所以a=2。

重要定理

每一个线性空间都有一个基。

对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E（E是单位矩阵），则 A 为非奇异矩阵（或称可逆矩阵），B为A的逆阵。

矩阵非奇异（可逆）当且仅当它的行列式不为零。

矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。