基本不等式条件

Question

如题所述

Answer 1

基本不等式条件是一正二定三相等。
是指在用不等式A+B≥2√AB证明或求解问题时所规定和强调的特殊要求。
一正：
A、B都必须是正数；
二定：
1.在A+B为定值时，便可以知道A*B的最大值；
2.在A*B为定值时，就可以知道A+B的最小值；
三相等：
当且仅当A、B相等时，等号才成立；即在A＝B时，A+B＝2√AB。

证明
1.算术证明

如果a、b都为实数，那么a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立

证明如下：

∵（a-b）^2;≥0

∴a^2;+b^2;-2ab≥0

∴a^2;+b^2;≥2ab

如果a、b、c都是正数，那么a+b+c≥3*3√abc，当且仅当a=b=c时等号成立。

如果a、b都是正数，那么（a+b）/2≥√ab，当且仅当a=b时等号成立。（这个不等式也可理解为两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数，当且仅当a=b时等号成立。）

2.几何证明

在直角三角形中，∠BAC为直角

点D为BC的中点，AE为高，设BE=a，EC=b

易证：ΔABE∽ΔCAE

∴a/AE=AE/b

即，AE=√（ab）①

又由于三角形中斜边大于直角边，

∴AD>AE②

∵AD=1/2(a+b）③

联合①②③得，

1/2(a+b）>√（ab）

基本不等式中常用公式

(1)√((a2+b2)/2)z(a+b)/2zabz2/(1/a+1/b)。(当且仅当a=b时，等号成立)
(2)√(ab)s(a+b)/2。(当且仅当a=b时，等号成立)
(3)a2+b2z2ab。(当且仅当a=b时，等号成立)
(4)abs(a+b)2/4。(当且仅当a=b时，等号成立)
(5)|al-lbsatblsa+bl。(当且仅当a=b时，等号成立）