如何求参数方程的导数？

Question

如题所述

Answer 1

对于一个参数方程 x = f(t), y = g(t)，我们可以通过链式法则来求其导数。
假设函数 f(t) 和 g(t) 都具有一阶导数，即 f'(t) 和 g'(t) 存在。则有：
dx/dt = f'(t)
dy/dt = g'(t)
因此，可以得到参数方程的导数表达式：
dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = g'(t)/f'(t)
也可以直接用 Leibniz 符号表示为：
dy/dx = dy/dt / dx/dt = (d/dt)(y/x) = (d/dt)(g(t)/f(t))
在具体计算中，可以先对 x = f(t) 和 y = g(t) 分别求导，然后再将导数带入上述公式中计算 dy/dx。
需要注意的是，由于参数方程表示的曲线可能存在水平或竖直的切线，因此在计算 dy/dx 的过程中需要注意分母为零的情况，并使用其他方法进行处理。同时，在计算过程中也要注意使用合适的求导规则和运算法则。