在sinx/x中当x→0时极限为什么为1

Question

如题所述

Answer 1

解;洛必达法则

sinx/x

=cosx/1

=cosx

=cos0=1

证明limx-0sinx/x=1.

洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。这种方法主要是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值．在运用洛必达法则之前，首先要完成两项任务：一是分子分母的极限是否都等于零(或者无穷大)；二是分子分母在限定的区域内是否分别可导；如果这两个条件都满足，接着求导并判断求导之后的极限是否存在：如果存在，直接得到答案；如果不存在，则说明此种未定式不可用洛必达法则来解决；如果不确定，即结果仍然为未定式，再在验证的基础上继续使用洛必达法则。

洛必达(Marquis de l'Hôpital,1661-1704)，)又音译为罗必塔(L'Hôpital)法国的数学家。

主要贡献

洛必达的著作尚盛行于18世纪的圆锥曲线的研究。他最重要的著作是《阐明曲线的无穷小于分析》（1696），这本书是世界上第一本系统的微积分学教科书，他由一组定义和公理出发，全面地阐述变量、无穷小量、切线、微分等概念，这对传播新创建的微积分理论起了很大的作用。在书中第九章记载著约翰‧伯努利在1694年7月22日告诉他的一个著名定理：「洛必达法则」，就是求一个分式当分子和分母都趋于零时的极限的法则。后人误以为是他的发明，故「洛必达法则」之名沿用至今。洛必达还写作过几何，代数及力学方面的文章。他亦计划写作一本关于积分学的教科书，但由于他过早去逝，因此这本积分学教科书未能完成。而遗留的手稿于1720年巴黎出版，名为《圆锥曲线分析论》。

Answer 2

看了下面的回答，不知道他们是怎么想的，这个问题居然用洛必达法则。
首先，这个问题不能用洛必达求极限。
我们知道 有SinX<X<tanX x∈[0,π/2]
则 sinx<x <sinx/cosx
得，sinx/x<1, cosx<sinx/x

则 cosx<sinx/x<1.

由lim（x→0）cosx=1
得 1<sinx/x<1
即得lim（x→0）sinx/x=1

Answer 3

可以构造一个导数：当x趋近于0时sinx/x的的极限与[sin(0+Δx)-sin0]/Δx是等价的，也就是sinx的导数，=cosx，当x趋近于0时cosx的极限为1

Answer 4

洛必达法则在高数里是不提倡使用的……
这题我觉得用等价无穷小量替换才是最简单的
limx.趋于0时sinx/x=x/x=1
当二者在其变化过程中均为无穷小量且等价是可以替换 如这里x趋于0时， sinx 等价于x

Answer 5

当x趋近于0时，可以用等价无穷小代换
sinx就等价于x，
原式可写为x/x=1