定义与定义表达式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： 一般式：y=ax^2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。 顶点式：y=a(x-h)^2+k 交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2) 重要概念：（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。） 二次函数表达式的右边通常为二次。 x是自变量，y是x的二次函数 x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式) [编辑本段]二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x的图像， 可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。不同的二次函数图像 [编辑本段]抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。 特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0） 2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b)/4a ) 当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b-4ac=0时，P在x轴上。 3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。 |a|越大，则抛物线的开口越小。 4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0，所以a、b要异号 事实上，b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。 5.常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于（0，c） 6.抛物线与x轴交点个数 Δ= b-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。 Δ= b-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 _______ Δ= b-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= -b±√b－4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a） 当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数，在{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b/4a}相反不变 当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax+c(a≠0) 7.定义域：R 值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b)/4a，正无穷）；②[t，正无穷） 奇偶性：偶函数 周期性：无 解析式： ①y=ax+bx+c[一般式] ⑴a≠0 ⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下； ⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b)/4a）； ⑷Δ=b-4ac, Δ＞0，图象与x轴交于两点： （[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）； Δ＝0，图象与x轴交于一点： （-b/2a，0）； Δ＜0，图象与x轴无交点； ②y=a(x-h)+t[配方式] 此时，对应极值点为（h，t），其中h=-b/2a，t=(4ac-b)/4a）； ③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式] a≠0，此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连用）。 [编辑本段]二次函数与一元二次方程 特别地，二次函数（以下称函数）y=ax+bx+c， 当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程）， 即ax+bx+c=0 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。 函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 1．二次函数y=ax，y=a(x-h)，y=a(x-h) +k，y=ax+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表： 解析式 y=ax y=ax+K y=a(x-h) y=a(x-h)+k y=ax+bx+c 顶点坐标 (0，0) (0，K) (h，0) (h，k) (-b/2a，sqrt[4ac-b]/4a) 对称轴 x=0 x=0 x=h x=h x=-b/2a 当h>0时，y=a(x-h)的图象可由抛物线y=ax向右平行移动h个单位得到， 当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到． 当h>0,k>0时，将抛物线y=ax向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)+k的图象； 当h>0,k<0时，将抛物线y=ax向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)+k的图象； 当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)+k的图象； 当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)+k的图象； 因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便． 2．抛物线y=ax+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b]/4a)． 3．抛物线y=ax+bx+c(a≠0)，若a>0，当x≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大．若a<0，当x≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小． 4．抛物线y=ax+bx+c的图象与坐标轴的交点： (1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)； (2)当△=b-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x，0)和B(x，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax+bx+c=0 (a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x-x| 另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－A |（A为其中一点的横坐标） 当△=0．图象与x轴只有一个交点； 当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0． 5．抛物线y=ax+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b)/4a． 顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值． 6．用待定系数法求二次函数的解析式 (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式： y=ax+bx+c(a≠0)． (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)+k(a≠0)． (3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x)(x-x)(a≠0)． 7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现． [编辑本段]中考典例 1．(北京西城区)抛物线y=x-2x+1的对称轴是( ) (A)直线x=1 (B)直线x=-1 (C)直线x=2 (D)直线x=-2 考点：二次函数y=ax+bx+c的对称轴． 评析：因为抛物线y=ax+bx+c的对称轴方程是：x=-b/2a，将已知抛物线中的a=1，b=-2代入，求得x=1，故选项A正确． 另一种方法：可将抛物线配方为y=a(x-h)+k的形式，对称轴为x=h，已知抛物线可配方为y=(x-1)，所以对称轴x=1，应选A． 2．( 北京东城区)有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点： 甲：对称轴是直线x=4； 乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数； 丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3． 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式： ． 考点：二次函数y=ax+bx+c的求法 评析：设所求解析式为y=a(x-x1)(x-x2)，且设x1＜x2，则其图象与x轴两交点分别是A(x1，0)，B(x2，0)，与y轴交点坐标是(0，ax1x2). 『因为顶点式a(x+x1)(x+x2),又因为与y轴交点的横坐标为0，所以a(0+x1)(0+x2),也就是ax1x2 ∵抛物线对称轴是直线x=4， ∴x2-4=4 - x1即：x1+ x2=8 ①∵S△ABC=3，∴(x2- x1)·|a x1 x2|= 3， 即：x2- x1= ② ①②两式相加减，可得：x2=4+，x1=4- ∵x1，x2是整数，ax1x2也是整数，∴ax1x2是3的约数，共可取值为：±1，±3。 当ax1x2=±1时，x2=7，x1=1，a=± 当ax1x2=±3时，x2=5，x1=3，a=± 因此，所求解析式为：y=±(x-7)(x-1)或y=±(x-5)(x-3) 即：y=x2-x+1 或y=-x2+x-1 或y=x2-x+3 或y=-x2+x-3 说明：本题中，只要填出一个解析式即可，也可用猜测验证法。例如：猜测与x轴交点为A(5，0)，B(3，0)。再由题设条件求出a，看C是否整数。若是，则猜测得以验证，填上即可。 5．( 河北省)如图13-28所示，二次函数y=x-4x+3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则△ABC的面积为( ) A、6 B、4 C、3 D、1 考点：二次函数y=ax2+bx+c的图象及性质的运用。 评析：由函数图象可知C点坐标为(0，3)，再由x-4x+3=0可得x1=1，x2=3所以A、B两点之间的距离为2。那么△ABC的面积为3，故应选C。 图13-28 6．( 安徽省)心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数关系：y=-0.1x2+2.6x+43(0＜x＜30)。y值越大，表示接受能力越强。 (1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ (2)第10分时，学生的接受能力是什么？ (3)第几分时，学生的接受能力最强？ 考点：二次函数y=ax+bx+c的性质。 评析：将抛物线y=-0.1x2+2.6x+43变为顶点式为：y=-0.1(x-13)2+59.9，根据抛物线的性质可知开口向下，当x＜13时，y随x的增大而增大，当x>13时，y随x的增大而减小。而该函数自变量的范围为：0＜x3＜0，所以两个范围应为0＜x＜13；13＜x＜30。将x=10代入，求函数值即可。由顶点解析式可知在第13分钟时接受能力为最强。解题过程如下： 解：(1)y=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9 所以，当0＜x＜13时，学生的接受能力逐步增强。 当13＜x＜30时，学生的接受能力逐步下降。 (2)当x=10时，y=-0.1(10-13)2+59.9=59。 第10分时，学生的接受能力为59。 (3)x=13时，y取得最大值， 所以，在第13分时，学生的接受能力最强。 9．( 河北省)某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题： (1)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润； (2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)； (3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？ 解：(1)当销售单价定为每千克55元时，月销售量为：500–(55–50)×10=450(千克)，所以月销售利润为 :(55–40)×450=6750(元)． (2)当销售单价定为每千克x元时，月销售量为：[500–(x–50)×10]千克而每千克的销售利润是:(x–40)元，所以月销售利润为： y=(x–40)[500–(x–50)×10]=(x–40)(1000–10x)=–10x+1400x–40000(元)， ∴y与x的函数解析式为：y =–10x+1400x–40000． (3)要使月销售利润达到8000元，即y=8000，∴–10x2+1400x–40000=8000， 即：x2–140x+4800=0， 解得：x1=60，x2=80． 当销售单价定为每千克60元时，月销售量为：500–(60–50)×10=400(千克)，月销售成本为： 40×400=16000(元)； 当销售单价定为每千克80元时，月销售量为：500–(80–50)×10=200(千克)，月销售单价成本为： 40×200=8000(元)； 由于8000＜10000＜16000，而月销售成本不能超过10000元，所以销售单价应定为每千克80元． 19．2006义乌市经济继续保持平稳较快的增长态势，全市实现生产总值 元，已知全市生产总值＝全市户籍人口×全市人均生产产值，设义乌市2006年户籍人口为x（人），人均生产产值为y（元）． （1）求y关于x的函数关系式； （2）2006年义乌市户籍人口为706 684人，求2006年义乌市人均生产产值（单位：元，结果精确到个位）：若按2006年全年美元对人民币的平均汇率计（1美元＝7.96元人民币），义乌市2006年人均生产产值是否已跨越6000美元大关？ 20．下图1为义乌市2005年，2006年城镇居民人均可支配收入构成条形统计图。图2为义乌市2006年城镇居民人均可支配收入构成扇形统计图，城镇居民个人均可支配收入由工薪收入、经营净收入、财产性收入、转移性收入四部分组成。请根据图中提供的信息回答下列问题： （1）2005年义乌市城镇居民人均工薪收入为________元，2006年义乌市城镇居民人均可支配收入为_______元； （2）在上图2的扇形统计图中，扇形区域A表示2006年的哪一部分收入：__________． （3）求义乌市2005年到2006年城镇居民人远亲中支配收入的增长率（精确到0．1℅） 19．解：（1） （x为正整数） （2）2006年全市人均生产产值= （元）（2分） 我市2006年人均生产产值已成功跨越6000美元大关（1分）
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