计算二重积分∫∫(x^2+y^2)dσ D：x^2+y^2≤2y

Question

用极坐标求解 主要问题是我找不出θ的范围。。。

Answer 1

方法1：
积分域是：
x^2+y^2≤2y
x^2+y^2-2y≤0
x^2+(y-1)^2≤1
积分是在上述圆的范围内进行。
令x=pcos(θ),y=psin(θ),此圆的方程可写为：
[pcos(θ)]^2+[psin(θ)-1]^2=1
p^2-2psin(θ)+1=1
p(p-2sin(θ)=0
解得：p=0和p=2sin(θ)
显然p=2sin(θ)是此圆的极坐标方程。
对任一个给定的p,可求出此圆上对应的θ:
θ=arcsin(p/2)
利用积分函数的对称性（对y轴对称），θ的积分范围可定为[arcsin(θ),pai/2],p的范围是从0到2。将积分结果乘2，即得最后结果。
此处，pai代表圆周率。

解法2：
令X=x,Y=y-1对积分域进行坐标平移，得：
X^2+Y^2≤1
将积分式中的x,y也用X，Y代换，得：
∫∫(X^2+（Y+1）^2)dσ
再令X=pcos(θ),Y=psin(θ),代入上面的积分后，p的积分范围是：[0，1]，θ的积分范围是：[0，2pai]