AB平行CD ∠1=∠2，∠3=∠4，E为AD 中点，求证BC=AB+CD，（注：∠1为角ABE,∠2为角EBC，∠3∠4为角和角

Question

（注：∠1为角ABE,∠2为角EBC，∠3∠4为角ECB和角ECD.)要三种证法，可以画 不同的辅助线。太谢谢了。加分

Answer 1

◆证法1:在BC上截取BF=BA,连接EF.(见左图)

∵BF=BA,BE=BE,∠2=∠1.

∴⊿BFE≌⊿BAE(SAS),∠BFE=∠A.

∵AB∥CD.

∴∠A+∠D=180度;

又∠BFE+∠EFC=180度.

∴∠D=∠EFC(等角的补角相等)

又CE=CE,∠3=∠4,则⊿DEC≌⊿FEC(AAS),FC=CD.

故:BC=BF+FC=AB+CD.

◆证法2:取BC的中点F,连接EF.(见中图)

∵AB∥CD,E和F分别为AD,BC中点.

∴AB+CD=2EF;(三角形中位线的性质)

   ∠ABC+∠BCD=180度.

又∠1=∠2,∠3=∠4.

∴∠2+∠3=90度;又F为BC中点.

∴BC=2EF.(直角三角形斜边中线等斜边一半)

◆证法3:延长BE,交CD的延长线于F.(见右图)

∵AB∥CD.

∴∠1=∠F;

又AE=DE,∠AEB=∠DEF.

∴⊿BAE≌⊿FDE(AAS),AB=DF.

又∠1=∠2.

∴∠2=∠F,得BC=CF(等角对等边)

BC=CF=DF+CD=AB+CD.(等量代换)