由题“曲线y=f(x)在点(1,1)上的
曲率圆为x
2+y
2=2”可知:y=f(x)和x
2+y
2=2在点(1,1)具有相同的
切线,且y=f(x)和x
2+y
2=2在点(1,1)具有相同的曲率
∴y=f(x)和x
2+y
2=2在点(1,1)具有相同的一、
二阶导数而x
2+y
2=2在点(1,1)的
一阶导数为y'(1)=-1,二阶导数为y''(1)=-2
∴f'(1)=-1,f''(1)=-2又f''(x)不变号
∴f''(x)<0
∴f′(x)是单调递减的
而f'(1)=-1
∴当1<x<2,时,f'(x)≤f'(1)<0
∴f(x)在(1,2)是单调递减的
∴f(x)在(1,2)无
极值点又由f''(x)<0知,f(x)是
凸函数∴当1<x<2,时,
<f′(1)∴f(x)<f(1)+f'(1)(x-1)=2-x
∴f(2)<0
而f(1)=1>0
∴在(1,2)上,由
零点定理知,f(x)必定存在零点
故选:B.