分别以△ABC的AC、BC为腰,A、B为直角顶点,作等腰直角三角形BCD与CAE,M为ED的中点,求证AM⊥BM

Question

分别以△ABC的AC、BC为腰,A、B为直角顶点,作等腰直角三角形BCD与CAE,M为ED的中点,求证AM⊥BM

Answer 1

解：延长AM至F，使MF=AM，连接DF，BF，延长AC交DF于G
∵M为ED中点
∴ MD=ME
∵MF=AM，∠DMF=∠EMA
∴△DMF≌△EMA
∴∠MDF=∠MEA
∴ DF//AE
∵ 等腰直角三角形ACE,BCD
∴ ∠GAE=90°，∠DBC=90°
∵ DF//AE
∴ ∠DGC=∠GAE=90°
∵ ∠DBC=90°
∴ 在DGCB中 ∠BDF+∠BCG=360°-90°-90°=180°
∵ ∠BCA+∠BCG=180°
∴ ∠BDF=∠BCA
∵ 等腰直角三角形ACE,BCD
∴ BD=BC，AE=AC
∵ △DMF≌△EMA
∴ DF=AE
∵ AE=AC
∴ DF=AC
∵ ∠BDF=∠BCA，BD=BC
∴ △BDF≌△BCA
∴ BF=BA
∴ 三角形BFA是等腰三角形
∵ MF=AM
∴ BM⊥AF
∴ AM⊥BM
得证

Answer 2

楼主麻烦自己画图

以BC为X轴建立坐标系，A点在X轴上方（这样便于计算）
令：
C为原点，A（b,c),B(a,0)
则D（a,-a)下面求E点坐标

在复平面中，令坐标同上。
则→CA=（b,ci） →表示复数
由“复数乘以i表示绕原点旋转90度”知
→AE=（-c,bi)所以
→CE=→CA+（→AE）=（b-c,(b+c)i)
即E点为(b-c,b+c)

回到直角坐标系中式
由中点坐标公式可得M点坐标
[（a+b-c)/2,(b+c-a)/2]
所以直线AM的斜率为(Y2-Y1)/(X2-X1)=
[(a+c-b)/2]/[(c+b-a)/2]，即
(a+c-b)/(c+b-a）
同理BM斜率为
【-(b+c-a)/2】/【(a+c-b)/2】,即
-(b+c-a)/(a+c-b)
所以K(AM)*K(BM)=-1 K(BM)表示BM的斜率
所以AM垂直于BM