数学问题:正三棱锥P-ABC中,M,N分别是棱PB,PC的中点

Question

1,正三棱锥P-ABC中,M,N分别是棱PB,PC的中点,若截面AMN垂直侧面PBC,则棱锥的侧面积与

底面积之比为______√6:1________

2,设正四棱锥S-ABCD的侧棱长为√2,底面边长为√3,E是SA中点，则异面直线

BE与SC所成角为______60度__________

3，正三棱锥底面边长为a,侧棱与底面成45度角，

则此棱锥的侧面积为_____a^2√15/4__________

最好解析一下

Answer 1

1 由题意,做bc边中点o
连ao,po
因为面amn垂直于面pbc
mn与po交点t
am=an,所以at垂直mn,因此at垂直平面pbc
at为此三角形的中垂线
ao=ap
ao是此正三棱锥的底面(底面三角形abc为正三角形)高
ap为侧面等腰三角形的腰边
设ab=A
ao=二分之根号三ab=二分之根号三A=ap
那么po=ap^2-(ab/2)^2=根号2a/2
Spab=1/2*ab*po=四分之根号二A平方
Sabc=1/2*ab*ao=四分之根号三A平方
侧面积=3*(根号2a^2/4)=3根号2a^2/4
棱锥的侧面积与底面积的比=(3根号2a^2/4):(根号3a^2/4)=根号6：1

2 设底面中心为O,连OE,那么OE‖SC,所以BE与SC所成角就是BE与OE所成角,
因为BO⊥面SAC,所以BO⊥OE
BO=根号6/2,OE=根号2/2所以tanBE与SC所成角=BO/OE=根号3.
所以异面直线BE与SC所成角大小为60度

3 正三棱锥底面边长为a,
那么从底面顶点到中心O的距离=(a/2)/cos30=根号3a/3
从O到底面一边的距离=(根号3a/3)*sin30=根号3a/6
因为侧棱与底面成45度角
所以棱锥的高=根号3a/3
因此侧面的高=根号[(根号3a/3)^2+(根号3a/6)^2]=根号(a^2/3+a^2/12)=根号15a/6
所以一个侧面面积=(根号15a/6)*a/2=根号15a^2/12
侧面积=3*根号15a^2/12=根号15a^2/4

Answer 2

第二题 取bc中点m sd中点n mn与be平行 取cd中点h nh与sc平行 然后狂用余弦定理解出三边 再用余弦定理