如图，在正三棱锥P—ABC中，M、N分别是侧棱PB、PC的中点，若截面AMN⊥侧面PBC，则此三棱锥的侧棱与底面所

Question

如图，在正三棱锥P—ABC中，M、N分别是侧棱PB、PC的中点，若截面AMN⊥侧面PBC，则此三棱锥的侧棱与底面所成角的正切值是 （ ）A． B． C． D．

Answer 1

B

考点： 专题：计算题． 分析：如图，设D为BC中点，则 PD⊥BC，PD⊥MN，垂足为E，E为MN中点．又面AMN⊥面PBC，则 PE⊥面AMN，PE⊥AE．设底面边长为2，侧棱长为a，通过解三角形的方法，解得a= ，设O为底面△ABC中心，连接OB，则∠PBO为三棱锥的侧棱PB与底面所成角，在△POB中求出 tan∠PBO． 如图，设D为BC中点，则 PD⊥BC，PD⊥MN，垂足为E，E为MN中点．又面AMN⊥面PBC，则 PE⊥面AMN，PE⊥AE． 设底面边长为2，侧棱长为a，在△PBC中，PD 2 =a 2 -1，PE 2 = PD 2 = ，ME= MN= ． 在△PAB中，由余弦定理，cos∠APB= ，代入数据化简得 ，AM 2 = +2， 在△PAE中，由勾股定理，得出 PA 2 =AE 2 +PE 2 =AM 2 -ME 2 +PE 2 ，即a 2 = +2- + ，解得a 2 =3，a= ，设O为底面△ABC中心，连接OB，则∠PBO为三棱锥的侧棱PB与底面所成角，在△POB中，BO= ，由勾股定理，PO 2 =PB 2 -BO 2 = ，PO= ，所以tan∠PBO= ， 三棱锥的侧棱与底面所成角的正切值是 ． 故选B． 点评：本题考查线面角的计算，线面垂直，面面垂直的定义，性质、判定，考查了空间想象能力、计算能力，分析解决问题能力．空间问题平面化是解决空间几何体问题最主要的思想方法．