函数连续，上、下界是什么意思

Question

如题所述

Answer 1

假设函数f(x) 在R上连续，并且当x→∞时，lim f(x)=A。
则对任意ε>0,存在正数M，当|x|>M时，有|f(x)-A|< ε。- ε< f(x)-A< ε。
即 当|x|>M时，有A-ε<f(x)<A+ε
这说明|x|>M时，f(x)是有界的。
再考虑|x|<=M，因为f(x)连续，
f(x)闭区间连续所以有界。

分别比较|x|>M、|x|<=M时的上界和下界，取上界的最大值N，下界的最小值n。
则N、n为函数f(x)的上、下界。
证毕。