高中数学题（椭圆）

Question

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为二分之根号三，椭圆与直线x+2y+8=0相交于点P,Q,且PQ长为根号十，求椭圆方程
答案为x^2/36+y^2/9=1
求详细解答过程

Answer 1

解：设P（x1,y1）,Q(x2,y2)有e=c／a=√3／2得c=√3／2×a,又a^2=b^2+c^2,得b=1／2a,把b=1／2a代入椭圆方程得x^2+4y^2=a^2...①,将x+2y+8=0化为y=-1／2x-4,k=-1／2,代入①整理得2x^2+16x+64-a^2=0,有韦达定理得x1+x2=-8,x1x2=(64-a^2)／2.|PQ|=√(k^2+1)|x2-x1|=√5／2×√{(x1+x2）^2-4x1x2}=√5／2×√（2a^2-64）,题知|PQ|=√10,则√10=√5／2×√（2a^2-64）解得a^2=36,则b^2=9。即椭圆方程为x^2／36+y^2／9=1.

Answer 2

离心率为二分之根号三，即 e=c/a = √3/2

故 b^2 = a^2 -c^2 = 1/4 * a^2

即 4b^2 = a^2
联立椭圆与直线方程

(2y+8)^2 /a^2 + y^2/b^2 = 1

整理得

(4b^2 + a^2)y^2 + 32b^2*y + 64b^2 - a^2b^2 = 0

即
2a^2 y^2 + 8a^2*y + 16a^2 - 1/4 a^4 = 0

PQ^2 = (x1-x2)^2 + (y1-y2)^2

= (2y1 -2y2)^2 + (y1-y2)^2

= 5(y1-y2)^2

= 5(y1+y2)^2 - 20y1y2

即 10 = 5*4^2 - 20*(16a^2 - 1/4a^4)/(2a^2)

整理得

36a^2 - 1a^4 =0

解得 a^2 = 36

所以 b^2 =9

椭圆方程为

x^2/36 + y^2/9 = 1

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Answer 3

e=√3/2
→e²=c²/a²=(a²-b²)/a²=1-b²/a²=3/4
→a²/4=b²
→椭圆方程为：x²/a²+4y²/a²=1

联立直线
→2x²+16x+64-a²=0
→x1+x2=-8,x1x2=32-(a²/2)
→PQ=√10=√(1+k²)*|x1-x2|
→a=6
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