高中函数周期性

Question

f（x）是定义在R上的偶函数，f（x+3）=-1/f（x），当x属于[-3,-2]时f（x）=2x，f（113.5）=？

Answer 1

已知a为常数，f(x)不等于0，且f(x+a)=(f(x)-1)/(f(x)+1) f(X)是否为周期函数？若是，求他的一个周期这是一道老题，也是一道运用类比思想的好题。 解析： f(x)不等于0，且f(x+a)=(f(x)-1)/(f(x)+1)，看到这个条件你会想到什么？ 我想大部分同学第一次遇到这个题会感到茫然，情理之中。下面先看这样一道题， 例， 已知a为常数，f(x)不等于0，且f(x+a)=(f(x)+1)/(1-f(x))是否存在周期？存在的话是多少？ 我想一见到这道题，同学们都会想到tan（x+派/4）=（tanx+1）/（1-tanx）。继而发生类比，至此可知例题中的函数周期是存在的，tan（x+派/4）=（tanx+1）/（1-tanx）的周期为 派，即4·派/4，这里 派/4相当于题中的a，可知例题中的函数是存在的，切周期为4a。 那么若把派/4换成-派/4，则tan（x-派/4）=（tanx-1）/（tanx+1），类比原题中的函数可知，原函数的周期是存在的，周期是tan（x-派/4）的周期，即 派。也就是 -4a，当然，4a也是它的周期之一。 解答完毕。 这道题还有其他方法，不过需要有很强的观察力才能想到上面方法。 至此我们知道，题来自书中，书中的概念，公式要熟记。也就是基础知识必须扎实。函数的周期性（一）概念对于函数 ，如果存在一个不为零的常数 ，使得当< style='' > 取定义域内的每一个值时， 是函数的一个周期，故 是周期函数，假设 ，当 未必是函数的一个周期，但若 是函数的一个周期，而 任一有理数是 的周期，用数学归纳法易证 的周期，换言之，一个周期函数必有其周期集合，且此集合是一个至少一方无界的无穷点集。（5）周期函数的定义域至少是一方无界因函数的周期集合是定义域的子集，由（4）知周期集合至少一方无界，故定义域至少一方无界。（6）周期函数的定义域内的点不一定是连续的，可能是有间断的，如函数 ，假设 ，对任 代入上式，有 ∵ 于是 矛盾，故 是以T为周期的函数，证明（1）对任意正整数 ， 的周期（2） 的所有周期都是T的整数倍注：若 证：（1） 的任意一个周期，且 ，使 （ ，则 也是 与T的最小性矛盾，故 是数集A上的周期函数，则 有最小正周期T，则T也是函数 周期，则任 从而 的周期。（2）由（1）知T也是 的最小正周期，则存在 是 即 的周期，且为正数，这与T是 的最小正周期3. 函数 以 为最小正周期证（ 充分性）设<0" > 是<1" style='width:27pt; > 的最小正周期，令<2" style= > ，则<3" > ∴ <4" style='width:81.75pt; > ∴ <5" style='width:4in; > 假设T不是 的周期，则<9" style='width:317.25pt; > 即 的周期与已知 是 是数集B上的周期函数，且 ，则复合函数 为B上的周期函数。证明：设T是 （ ）的周期，则对任意 即 为B上周期函数推论：若 ， ， （ 仍为周期函数（2）若T是 如 ，而 最小正周期 ， 是数集B上具有最小正周期T的函数，则T也是复合函数 的最小正周期。证：由（1）T也是复合函数 的周期，即对任 有 ，即 与 （ ），则它们的和、差、积是A上以 ）为周期的周期函数证： 但是，如果 与 分别是 的最小正周期，那么 与 的最小公倍数不一定是 与 的最小正周期都是 ，并不是 ，显然 的最小正周期（5）对于定义在R上的函数 ），则 为一个周期的周期函数，反之，若 为函数 ，且 是以 ，那么 （ 数代换，令 代 代入 ，求证 ，求证 是定义在R上的函数，且 的值。 3. 已知函数 的任意一个值都有 是周期函数。4. 对任意整数 ， ， ，求 在R上有意义，满足（1） ，（2） 为奇函数，试求 满足 ，且 在区间（0，10）内实根的个