复变函数的题，留数及其应用

Question

如题所述

Answer 1

三级极点的原因：sinZ-Z在Z=0时为0，一阶导数cosZ-1在Z=0时为0，二阶导数-sinZ在Z=0时为0，所以Z=0是sinZ-Z的三级零点，是1/(sinZ-Z)的三级极点

Answer 2

补充一下，无穷大也是其孤立极点，前一表达式并不包涵无穷大，而是设想出的
对分母求导时得到的第一次不为零即可，反过来就是第一个不为零的负项系数

Answer 3

e^z=(1+i)z=Ln(1+i)=ln(√2)+(π/4+2kπ)i
(k为整数)
z=0是(sinz-z)的三级零点，z=0是1/(sinz-z)的三阶极点。

Answer 4

由于被积函数f(z)=tanπz=sinπz/cosπz的奇点是分母等于0的点，而使分母cosπz=0又在c:|z|=1内的点只有l两个点：
z=1/2和z=-1/2；再根据孤立奇点的分类判定可知：z=1/2和z=-1/2是被积函数f(z)=tanπz的一级极点.
利用一级极点求留数的方法可以知道：
res(tanπz,1/2)=-
sin(π/2)/[πsin(π/2)]=-1/π；
res(tanπz,-1/2)=-
sin(-π/2)/[πsin(-π/2)]=-1/π；
因此利用留数基本定理可知：
∮tanπzdz=2πi
[res(tanπz,1/2)+res(tanπz,-1/2)]
=2πi
[-1/π+(-1/π)]
=-4i.
祝周末愉快！