第一：这是一个经典的证明过程，在浙大的书上这样写的，在别的资料上也是这样写的，维基上也是这样写的。
第二：书上证明是这样写的:
因为数列{Xn}是收敛的,设其极限为a,根据数列极限的定义,对于ε=1,存在正整数N,当n>N是不等式|Xn-a|<1都成立,于是当n>N时,|Xn|=|(Xn-a)+a|<=|(Xn-a)|+|a|<1+|a|
取M=max{|X1|,|X2|,|X3|,|X4|,....|XN|,1+|a|},那么数列{Xn}中一切Xn就都满足不等式|Xn|≤M。这就证明了数列{Xn}是有界的
第三：我对证明的理解，就是从>N开始的所有的Xn都要局限在1+|a|这个范围内，前大N个Xn有数值。
第三：我不理解的地方：取M=max{|X1|,|X2|,|X3|,|X4|,....|XN|,1+|a|},那么数列{Xn}中一切Xn就都满足不等式|Xn|≤M。这就证明了数列{Xn}是有界的.
第四：疑惑。证明中取M=max等等，意思是从{|X1|,|X2|,|X3|,|X4|,....|XN|,1+|a|},这里面取较大的那一个，那也就是说这些项中究竟哪一个最大都是有可能的对吧？而我画了很多图，对于收敛数列，X1,X2总是距离极限a最远的项，也就是说{|X1|,|X2|总是最大的数？
2月20日 23:37
第五：这个应该怎么理解，收敛数列随着n从1开始增长，Xn在数轴上向同样数轴上的某点a逼近，我觉得最初的|X1|,|X2|，应该是较大的数值。而证明中的max可以任意选取，它的意思是那个数最大是不定的，也就是说在{|X1|,|X2|之后的某个数竟然比最初的数还要大，这怎么可能啊。因为这是收敛数列啊。