高中数学函数10

Question

已知函数f(x)=aInx+bx的4次方-c（x>0) 在x=1处取得极值-3-c，其中a,b,c为常数
1.试确定a,b的值
2.讨论函数f(x)的单调区间
3.若对任意x>0,不等式f(x)≤-2c²恒成立，求c的取值范围

Answer 1

(1.)f(1)=b-c=-3-c,所以b=-3
f'(x)=a/x+4bx^3,因为f(x)在x=1取极值,所以f'(1)=a+4b=0,所以a=12

(2.)f(x)=12lnx-3x^4-c,f'(x)=12/x-12x^3=12[(1-x^4)/x]
当0<x<1时f'(x)>0即f(x)在(0,1)单调递增
当x>1时f'(x)<0即f(x)在(1,正无穷)单调递减

(3.)不等式f(x)≤-2c²恒成立,即f(x)最大值≤-2c²
由(2.)知f(X)最大值为f(1)=-3-c,即-3-c≤-2c²即2c²-c-3≤0
所以-1≤c≤1.5