如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AC，PA⊥AB，PA=AB， ， ，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC，（1）求证

Question

如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AC，PA⊥AB，PA=AB， ， ，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC，（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值．

Answer 1

解：（1）∵PA⊥AC，PA⊥AB，AC∩AB=A， ∴PA⊥底面ABC， ∴PA⊥BC．又∠BCA=90°， ∴AC⊥BC．∴BC⊥平面PAC． （2）∵D为PB的中点，DE∥BC，∴DE= BC， 又由（1）知，BC⊥平面PAC， ∴DE⊥平面PAC，垂足为点E． ∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角， ∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB， 又PA=AB，∴△ABP为等腰直角三角形， ∴AD= AB， ∴在Rt△ABC中，∠ABC=60°， ∴BC= AB． ∴在Rt△ADE中，sin∠DAE= = = ， ∴AD与平面PAC所成的角的正弦值是 。