因式分解》例题精讲与同步练习
本周的内容：因式分解
一、 本节的重点是因式分解，包括因式分解的意义和把多项式的三种基本方法；难点是因式分解的方法的灵活运用
1. 提公因式法的关键是确定公因式。即①取各项系数的最大公约数②字母取各项的相同的字母③各字母的指数取次数最低的。
2. 运用公式法时要注意判断是否符合公式要求，并牢记公式的特征。
3. 分组分解的关键是适当分组，先使分组后各组中能分解因式，再使因式分解能在各组之间进行。
4. 分解因式时应当先考虑提公因式，然后判断是否可以套用公式，最后考虑分组分解。
5. 分解因式时要灵活运用各种方法，并且要把每一个多项式因式分解到不能再分解为止。
二、 表解知识要点：
运算 公式或法则 注意事项
提公因式 要把多项式中的公因式全部提取出来，俗称：提尽公因式
用公式 a2－b2=（a+b）（a－b）
a2±2ab－b2=（a±b）2 注意完全平方公式中间的符号
分组分解 分组的目的是要能提公因式或运用公式
三、 例题分析
例1 下列从左到右的变形，属于因式分解的有（ ）
A、（x+3）(x－2)=x2+x－6 B、ax－ay－1=a（x－y）－1
C、8a2b3=2a2·4b3 D、x2－4=（x+2）（x－2）
分析：本题考查因式分解的意义，考查学生对概念的辨析能力。要将各个选择项对照因式分解的定义进行审查。A是整式乘法，显然不是因式分解；B的右端不是积的形式，也不是因式分解；C的左端是一个单项式，显然不是因式分解；D是将一个多项式化成两个整式的积，符合因式分解的定义。所以选D。
例2 把3ay－3by+3y分解因式
解：原式=3y（a－b+1）
例3 把－4a3b2+6a2b－2ab分解因式
解：原式= －（4a3b2－6a2b+2ab）
= －（2ab·2a2b－2ab·3a+2ab·1） 这一步要记得变号
= －2ab（2a2b－3a+1） 这一步不要漏提最后的1
例4 把－2p2（p2+q2）+6pq（p2+q2）分解因式
解：原式=－2p（p2+q2）（p－3q） 这里很容易漏掉p
例5 把5（x－y）2－10（y－x）3分解因式
解：原式=5（x－y）2+10（x－y）3 公式（x－y）n= －（y－x）n（n为奇数）
（x－y）n= （y－x）n（n为偶数）
=5（x－y）2[1+2（x－y）] 因式分解要彻底，最后的答案要化简
=5（x－y）2（1+2x－2y）
例6 把下列各式分解因式：
（1）4x2－9； （2）x－xy2 （3）x4－1 （4）－ n2+2m2
解：（1）原式=（2x）2－32=（2x+3）（2x－3）
（2）原式=x（1－y2） 要先提公因式
=x（1+y）（1－y） 然后再用公式
（3）原式=（x2+1）（x2－1） 分解一定要彻底
=（x2+1）（x+1）（x－1） 所以……
（4）原式=－ （n2－4m2） 提出－ 后出现符合平方差公式的式子
= － （n+2m）（n－2m）
例7 把下列各式因式分解：
（1）－x2+4x－4 （2）（a+b）2+2（a+b）+1 （3）（x2+y2）2－4x2y2
解：（1）原式= －（x2－4x+4）=－（x－2）2
（2）原式= （a+b+1）2
（3）原式= （x2+y2+2xy）（x2+y2－2xy） 先用平方差公式
= （x+y）2（x－y）2 再用完全平方公式
例8 分解因式：7x2－3y+xy－21x
解法1：7x2－3y+xy－21x 解法2：7x2－3y+xy－21x
=（7x2+xy）+（－3y－21x） =（7x2－21x）+（xy－3y）
= x（7x+y）－3（7x+y） =7x（x－3）+y（x－3）
= （7x+y）（x－3） =（x－3）（7x+y）
总结：分组的方法不是唯一的，但也并不是任意的，分组时要目标明确，首先应当使分组后每组都可以分解因式，其次每组分解因式后各组合在一起又可以分解因式。
例9 把下列各式分解因式：
（1）1－x2+4xy－4y2 （2）x2－4xy+4y2－3x+6y
解：（1）原式=1－（x2+4xy－4y2）
=1－（x－2y）2
=（1+x－2y）（1－x+2y）
（2）原式=（x2－4xy+4y2）+（－3x+6y） 分成两组后一组用完全平方公式
=（x－2y）2－3（x－2y） 另一组可提公因式
=（x－2y）（x－2y－3）
例10 （思维训练）分解因式：x2－2xy+y2－2x+2y+1
解：原式=（x2－2xy+y2）+（－2x+2y）+1 分成三组
=（x－y）2－2（x－y）+1 形成完全平方式的形式
=（x－y－1）2
温馨提示：答案为网友推荐，仅供参考