已知锐角三角形ABC，∠B等于60°，求Sin∠A+ Sin∠C的取值范围。

Question

如题所述

Answer 1

B=60°，所以，C=180°-A-B=120°-A，且A∈（0°，90°）
sinA+sinC
=sinA+sin（120°-A）
=sinA+根号3*cosA/2 +sinA/2 （正弦差角公式展开）
=（3sinA+根号3 *cosA）/2
=根号3 * sin(A+30°） （辅助角公式）
因为A∈（0°，90°），
所以，A+30°∈（30°，120°）
sin(A+30°）∈（0.5,1]
所以，
根号3 * sin(A+30°） ∈（根号3/2 ，根号3】为所求的范围

Answer 2

sinA+sinC
=2sin((A+C)/2)cos((A-C)/2)
=2sin((180°-60°)/2)cos((A-C)/2)
=2sin60°cos((A-C)/2)
=√3cos((A-C)/2)追答

∵A+C=180°-60°=120°
∴(A+C)/2=60°
∵A=120°-C
∴(A-C)/2
=(120°-2C)/2
=60°-C
∴sinA+sinC
=2sin((A+C)/2)cos((A-C)/2)
=2sin60°cos(60°-C)
=√3cos(60°-C)
∵0°<C<120°
∴-60°<(60°-C)<60°
∴1/2<cos(60°-C)<1
√3/2<√3cos(60°-C)<√3
即，

∵A+C=180°-60°=120°
∴(A+C)/2=60°
∵A=120°-C
∴(A-C)/2
=(120°-2C)/2
=60°-C
∴sinA+sinC
=2sin((A+C)/2)cos((A-C)/2)
=2sin60°cos(60°-C)
=√3cos(60°-C)
∵0°<C<120°
∴-60°<(60°-C)<60°
∴1/2<cos(60°-C)<1
√3/2<√3cos(60°-C)<√3
即，
√3/2<(sinA+sinC)<√3

Answer 3

0-120