证明：
AB 的行数即A的行数
AB 的列数即B的列数
∴AB=BA 时，A 的行数 (AB的行数) 等于B的行数(BA的行数)，B的列数等于A 的列数
又∵ AB有意义
∴ A 的列数等于B的行数
∴ A,B是同阶矩阵
证明同阶矩阵的方法：
设A,B都是n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使P^(-1)AP=B，则称B是A的相似矩阵, 并称矩阵A与B相似，记为A~B。
对进行运算称为对进行相似变换，称可逆矩阵为相似变换矩阵。n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量。 定理的证明过程实际上已经给出了把方阵对角化的方法。
对每一个特征值,设其重数为k,则对应齐次方程组的基础解系由k个向量构成，即为对应的线性无关的特征向量；上面求出的特征向量恰好为矩阵的各个线性无关的特征向量。
若n阶矩阵A有n个相异的特征值，则A与对角矩阵相似。对于n阶方阵A，若存在可逆矩阵P， 使其为对角阵，则称方阵A可对角化。
n阶矩阵A可对角化的充要条件是对应于A的每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重数，即设是矩阵A的重特征值。对任意一个n阶矩阵A，都存在n阶可逆矩阵T使得即任一n阶矩阵A都与n阶约当矩阵J相似。