三棱锥P-ABC中,∠APB=∠BPC=∠CPA=90°,D为底面ABC内一点,∠APD=45°,∠BPD=60°,求∠CPD余弦。
请写出一步一步进行的解答过程,对于大家的帮助,我深表感谢!
如图,在线段 PD 上取点 H ,过 H 作平面 α ,使 PH丄α ,
设 α 与 PA、PB、PC 分别交于 E、F、G ,连接 EF、FG、GE,
延长 GH 交 EF 于 M ,连接 PM ,
易证 H 为三角形 EFG 的垂心,GM丄EF,
设 PH = x ,容易求得 PF = 2x,PE = √2x ,因此 EF=√6x ,
所以 PM = PE*PF/EF = 2√3/3*x ,
那么 sin∠PMH = PH/PM = √3/2 ,所以 ∠PMH = 60°,
而 ∠CPD = ∠GPH =∠PMH = 60°,
所以 cos∠CPD = 1/2 。
追问您好,尊敬的西域牛仔王,请问怎么证明H 为三角形 EFG 的垂心呢?虽然我的这个问题很幼稚,但是还是请您有空闲的时候帮助我解答一下好么?
追答P 处的三个角均为直角,因此 PC丄PA,PC丄PB,因此 PC丄平面PAB,
所以 EF丄PC,由于 PH丄平面EFG,因此由三垂线逆定理知 EF丄HG ,
(同理可证其它,因此 H 为垂心。不过用不着,可以不理会。本题只须 EF丄MG )
所以 PM丄EF 。(下面就可以计算了)
同学你好,很高兴为您解答!
在线段 PD 上取点 H ,过 H 作平面 α ,使 PH丄α ,
设 α 与 PA、PB、PC 分别交于 E、F、G ,连接 EF、FG、GE,
延长 GH 交 EF 于 M ,连接 PM ,
易证 H 为三角形 EFG 的垂心,GM丄EF,
设 PH = x ,容易求得 PF = 2x,PE = √2x ,因此 EF=√6x ,
所以 PM = PE*PF/EF = 2√3/3*x ,
那么 sin∠PMH = PH/PM = √3/2 ,所以 ∠PMH = 60°,
而 ∠CPD = ∠GPH =∠PMH = 60°,
所以 cos∠CPD = 1/2 。
希望我的回答能帮助您解决问题,如您满意,请采纳为最佳答案哟。
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