为什么有界函数的下界不唯一？

Question

如题所述

Answer 1

为什么有界函数的下界不一？

在数学中，有界函数是指在某个区间内具有有限个最大值或最小值的函数。

首先，我们需要明确什么是有界函数的下界。对于有界函数f(x)，如果存在一个实数a，使得对于任意实数b，都有f(b)≥a，那么我们称a是函数f(x)的下界。换句话说，下界表示了函数的最小值，即不大于它的所有实数值。

现在，让我们考虑为什么有界函数的下界可能不同。一个常见的原因是函数在定义域的不同子区间内的取值范围不同。例如，考虑一个简单的二次函数f(x) = -2x^2 + 4x - 1。这个函数的定义域为全体实数R。如果我们计算这个函数在不同区间内的最小值，会发现它们的下界是不同的。

具体来说，对于区间[0, 1]，函数f(x)的最小值为f(0) = -1；而对于区间[0, 2]，最小值为f(1) = 1。这两个最小值不相等，说明函数在不同子区间内的取值范围不同，从而导致下界不同。

另一个可能导致有界函数下界不一的原因是函数在某些点处不连续或者不可导。这种情况通常出现在分段函数或者不连续点附近的区域。例如，考虑一个分段函数f(x) = {-x, x ≤ 0; -x^2, x > 0}。在这个例子中，当x=0时，函数在x轴上的取值为不可导的断点。因此，尽管整个函数在定义域内是有界的，但是在某些子区间内的下界可能是不同的。

总之，有界函数的下界不一可以归结为两个主要原因：一是函数在不同子区间内的取值范围不同；二是函数在某些点处不连续或不可导。了解这些原因可以帮助我们更好地理解有界函数的性质和行为。

Answer 2

有界函数的上界和下界都不是唯一的。
根据上下界的定义，如果一个函数f（x），找到一个下界a，也就是说f（x）≥a恒成立
很明显对于a-1，也满足f（x）≥a-1恒成立，即a-1也是这个函数的下界，同理，任何比a小的数都是这个函数的下界，所以下界是无数个。
如果f（x），找到一个上界b，也就是说f（x）≤b恒成立
很明显，对于b+1，也满足f（x）≤b+1恒成立，即b+1也是这个函数的上界，同理，任何比b大的数都是这个函数的上界，所以上界也是无数个。
所以有界函数的界，不是唯一的，一旦有界，界可以有无数个。