如图，在三棱锥P-ABC中，∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PAC（Ⅱ）若PA=1，AB=2，BC=
如图，在三棱锥P-ABC中，∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PAC（Ⅱ）若PA=1，AB=2，BC=AC，在线段AC上是否存在一点D，使得直线BD与平面PBC所成角为30°？若存在，求出CD的长；若不存在，说明理由．
解答：
（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵∠PAB=∠PAC=90°，∴PA⊥AB，PA⊥AC．
∵AB∩AC=A，∴PA⊥平面ABC------------------------（1分）
∵BC?平面ABC，∴BC⊥PA．------------------------（2分）
∵∠ACB=90°，∴BC⊥CA．
∵PA∩CA=A，∴BC⊥平面PAC．------------（3分）
∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC．------------（4分）
（Ⅱ）在线段AC上不存在点D，使得直线BD与平面PBC所成角为30°．
由已知可知，BC⊥CA，AB=2，此时BC＝AC＝
．------------（5分）
以C为原点，建立如图的空间直角坐标系C-xyz，则
＝(0，
，0)，
＝(
，0，1)，
设
＝(x，y，z)是平面PBC的法向量，则
?
，
取x=1，得
＝(1，0，?
)，------------（8分）
设线段AC上的点D的坐标为D（t，0，0），则
＝(t，?
，0)(0≤t≤
)，
∵sin30°＝
（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵∠PAB=∠PAC=90°，∴PA⊥AB，PA⊥AC．
∵AB∩AC=A，∴PA⊥平面ABC------------------------（1分）
∵BC?平面ABC，∴BC⊥PA．------------------------（2分）
∵∠ACB=90°，∴BC⊥CA．
∵PA∩CA=A，∴BC⊥平面PAC．------------（3分）
∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC．------------（4分）
（Ⅱ）在线段AC上不存在点D，使得直线BD与平面PBC所成角为30°．
由已知可知，BC⊥CA，AB=2，此时BC＝AC＝
| 2 |
以C为原点，建立如图的空间直角坐标系C-xyz，则
| CB |
| 2 |
| CP |
| 2 |
设
| n |
|
|
取x=1，得
| n |
| 2 |
设线段AC上的点D的坐标为D（t，0，0），则
| BD |
| 2 |
| 2 |
∵sin30°＝
|
| ||||
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