一个矩阵，如果既有左逆，又有右逆，则其为方阵，这是为什么？哪位能否给出证明？

Question

如题所述

Answer 1

如果A是mxn的矩阵，那么A的左逆L是nxm的，右逆R是mxn的
LA=I_n => rank(A)>=n
AR=I_m => rank(A)>=m

然而由A的尺寸可得rank(A)<=n, rank(A)<=m，所以rank(A)=n=m，只能是方阵

直观一点可以看一个例子，比如3x2的矩阵，秩最多是2，怎么乘都不可能乘出I_3来追问

没懂。如果A是mxn的矩阵，那么A的左逆L是nxm的，右逆R应该也是nxm的。

追答

对的，我写错了，两个都是nxm的，其余的没错

追问

可以不用rank来解释么？表示还没理解到。

追答

假定m>n，A=[a1,a2,...,an]，R=[r1,r2,...,rn]^T，AR=I_m
在A和R^T后面都补上m-n列0，补完之后得到的方阵记成Anew和Rnew^T
那么利用分块乘法得到AR=AnewRnew
注意Anew和Rnew的行列式都是0，但是AR=I_m的行列式是1，矛盾