椭圆设而不求 无敌难题！！！！

Question

过点（8，1）的直线 与椭圆x^2/25+y^2/9=1 交P，Q 求弦PQ的中点的轨迹方程？ 我记得老师过去讲过两种方法一种是联立解方程 算（三角形）大于0
还有一种是点叉法 要讨论 我两种方法都忘了 求救！！！ 两种都要
...怎么搞我忘记了 师范一下饿

Answer 1

1：设而不求法:
椭圆可化成9x²+25y²=225①
设P(x1，y1），Q（x2，y2），且直线PQ斜率为k，PQ中点（x，y）
由于直线过（8，1），则该直线为：y-1=k（x-8）即y=k（x-8）+1
但是我们不应该就这样设，因为8代入到椭圆中是一个非常大的数，后面的计算会无比复杂。
所以我们设y=kx+b②，你之后就能体会到这样设的好处。
将（8，1）代入②，得b=1-8k
联立①②，整理得：
x1+x2=2x=-50kb/（9+25k²）
y1+y2=2y=kx1+b+kx2+b=k（x1+x2）+2b
=[-50k²b/（9+25k²)]+2b
=18b/（9+25k²）
则x=-25kb/（9+25k²）
y=9b/（9+25k²）
x/y=-25k/9
则k=-9x/25y
把k=-9x/25y和b=1-8k代入y=9b/（9+25k²）
整理得：9x²+25y²-72x-25y=0，为中点方程

2:点差法：
椭圆可化成9x²+25y²=225
设P(x1，y1），Q（x2，y2），且直线PQ斜率为k，PQ中点（x，y）
则有9x1²+25y1²=225①
9x2²+25y2²=225②
x1+x2=2x③
y1+y2=2y③
由①-②得：
9（x1²-x2²）+25（y1²-y2²）=0
9（x1-x2)(x1+x2）+25(y1-y2)(y1+y2)=0
两边同时除以（x1-x2），并用k来代换（y1-y2）/（x1-x2）
9（x1+x2）+25k（y1+y2）=0
把③的两个式代入上式
9（2x）+25k（2y）=0
即18x+50ky=0，得k=-9x/25y
由于该直线过（8，1），而(x,y)和它在同一直线，所以斜率k=(y-1)/(x-8)
那么(y-1)/(x-8)=-9x/25y
解得9x²+25y²-72x-25y=0，为中点方程

注意，你说的验△，这是肯定的。
△是判别式，它要大于0，这是直线和椭圆有交点的充要条件。
因为（8，1）是在椭圆之外的，而我们设的直线不一定会和椭圆有2个交点，所以一定要验△，得到k的范围，之后检验求出来的k是否在使△>0的k的范围之内，如果是，那么这个k就成立了，也代表着该轨迹存在
否则，k不成立，直线和椭圆根本没有交点，当然也不存在截弦，更不存在截弦的中点的轨迹。
最后要注意的是，k是否存在也需要讨论。这和△不同。△>0是为了保证使直线和椭圆相交的k存在，而如果一条直线和x轴垂直，那么k是不存在的，直线就不带k了。在这题中，显然k是存在的，因为当k不存在时，直线和椭圆不相交。所以推断出k必定存在。

Answer 2

解法一（点差法）：
易知直线斜率存在
故可设直线方程为y-1=k(x-8)，P(X1,Y1),Q(X2,Y2),中点M(X0,Y0)
由于弦中点在直线上,故有(yo-1)/(xo-8）=k……………………⑴
下面用点差法，将P,Q两点坐标分别代入椭圆方程，做差，化简可得（这其中的过程清楚吧？不清楚告我一下我再给你发）
k=-9 x0/25 y0…………………………………………⑵
联立⑴⑵，消去k即得M的轨迹方程为9x²+25y²-72x-25y=0

解法二（代入法）
这种方法很常规，几乎适用于所有的解析几何问题，我说一下思路（临时有事，来不及具体解了，不好意思~~~）
1.设出直线方程及P,Q，M坐标（同解法一中的）
2.联立直线方程和椭圆方程，得到一个只含参数k的二次多项式
3.对上式用韦达定理，可得出x1+x2和x1.x2的表达式
4.其中x1+x2=2x0,y1+y2可以通过分别把x1,x2代入直线方程求解，最后也能表达出一个关于k的关系式
5.消去k，即得x0和y0得关系

希望我的回答对你有帮助

Answer 3

我不知道什么点×法，倒是联立方程计算量非常之大，需要有一定的处理技巧，具体过程如下图，（点击它，会弹出一个清晰的大图）

Answer 4

点叉法对这道题不管用,这里你就设点不求点就行了,设而不求的精髓就是根与系数关系