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当x→∞时证明arctanx~x 怎么证明谢谢?
也就是要证明arctanx等价于x
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推荐答案 2009-05-26
x→+∞时,arctanx->PI/2,
x→-∞时,arctanx->-PI/2,
lim(x->0)arctanx = lim(x->0)x = 0.
lim(x->0)arctanx/x = lim(x->0)[1/(1+x^2)]/1 = 1
所以,
x→0时,arctanx和x是等价无穷小量。
x→0时,arctanx ~ x。
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第1个回答 2009-05-26
用常规的方法就能证明,一般证明A~B,就要证明A/B的极限等于1。
注意:arctan x 和 x 是等价无穷小的前提是X趋于0
x->0,lim(arctanx/x)=lim{[1/(1+x^2)]/1}=1
这里利用了两点:“0/0”型,上下求导;arctanx的导数为1/(1+x^2)
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令arctanx=y,x=tany,x趋于0时,y趋于0,因此 lim arctanx/x=lim y/tany=lim ycosy/siny =lim cosy/(siny/y)=1。即arctanx~x。无穷小量是数学分析中的一个概念,在经典的微积分或数学分析中,无穷小量通常以函数、序列等形式出现。无穷小量即以数0为极限的...
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