如何定义函数连续？

Question

如题所述

Answer 1

函数连续的定义可以通过两种方式来表述：

设函数在点的某一邻域内有定义，如果当趋向于时，函数极限值等于函数值，那么就称函数在该点处连续。具体来说，如果当x趋近于某个点x0时，函数f(x)的极限值f(x0)=A，且在x=x0处的函数值f(x0)=A，则称函数f(x)在点x0处连续。
如果一个函数在某个区间内的每一个点都满足极限存在且等于函数在该点的值，那么这个函数就是在该区间上的连续函数。在此基础上，如果一个函数在左端点连续就是指右连续，在右端点连续就是指左连续。

如果一个函数在某个点处不连续，则该点的极限值不存在。因此，判断一个函数在某点处是否连续的关键是判断该点处的极限值是否存在。如果极限值存在且等于函数在该点的值，则该点是连续点；否则，该点不连续。

对于连续函数的图像，它是一条连续而不间断的曲线。在数学、物理、工程等许多领域中，连续函数都有广泛的应用。例如，在物理学中，物体的运动轨迹往往可以用连续函数来表示；在工程学中，连续函数可以用于描述信号的传输和处理过程等等。

Answer 2

函数f(x)在x0连续，当且仅当f(x)满足以下三个条件：

1、f(x)在x0及其左右近旁有定义。

2、f(x)在x0的极限存在。

3、f(x)在x0的极限值与函数值f(x0)相等。

对于一元函数有，可微<=>可导=>连续=>可积。

对于多元函数，不存在可导的概念，只有偏导数存在，函数在某处可微等价于在该处沿所有方向的方向导数存在，仅仅保证偏导数存在不一定可微，因此有：可微=>偏导数存在=>连续=>可积。

可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导。

可微与连续的关系：可微与可导是一样的。

可积与连续的关系：可积不一定连续，连续必定可积。

可导与可积的关系：可导一般可积，可积推不出一定可导。