复指数函数在无穷区间的积分

Question

如题所述

Answer 1

解：将积分区间(-∞,∞)拆成(-∞,0)∪(0,∞)，并对前一个积分设τ=-x、运用欧拉公式，经整理。

∴原式=2∫(0,∞)e^(-λτ)[cos(Ωτ-θ2)+cos(Ωτ+θ2)]cos(ωτ)dτ。

而cos(Ωτ-θ2)+cos(Ωτ+θ2)=2cos(Ωτ)cos(θ2)。

∴原式=4cos(θ2)∫(0,∞)e^(-λτ)cos(Ωτ)cos(ωτ)dτ=2cos(θ2)∫(0,∞)e^(-λτ)[cos(Ω+ω)τ+cos(Ω-ω)τ]dτ。

又，∫(0,∞)e^(-λτ)cos(Ω+ω)τdτ=λ/[λ^2+(Ω+ω)^2]、∫(0,∞)e^(-λτ)cos(Ω-ω)τdτ=λ/[λ^2+(Ω-ω)^2]。

∴原式=2λcos(θ2){1/[λ^2+(Ω+ω)^2]+1/[λ^2+(Ω-ω)^2]}。

Answer 2

　　解：将积分区间(-∞,∞)拆成(-∞,0)∪(0,∞)，并对前一个积分设τ=-x、运用欧拉公式，经整理，
　　∴原式=2∫(0,∞)e^(-λτ)[cos(Ωτ-θ2)+cos(Ωτ+θ2)]cos(ωτ)dτ。
　　而cos(Ωτ-θ2)+cos(Ωτ+θ2)=2cos(Ωτ)cos(θ2)，
　　∴原式=4cos(θ2)∫(0,∞)e^(-λτ)cos(Ωτ)cos(ωτ)dτ=2cos(θ2)∫(0,∞)e^(-λτ)[cos(Ω+ω)τ+cos(Ω-ω)τ]dτ。
　　又，∫(0,∞)e^(-λτ)cos(Ω+ω)τdτ=λ/[λ^2+(Ω+ω)^2]、∫(0,∞)e^(-λτ)cos(Ω-ω)τdτ=λ/[λ^2+(Ω-ω)^2]，
　　∴原式=2λcos(θ2){1/[λ^2+(Ω+ω)^2]+1/[λ^2+(Ω-ω)^2]}。
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