如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形,PA=AD=2,M,N分别是AB,PC的中点.(1)求二面角P-CD-B的大小;(2)求证:平面MND⊥平面PCD;(3)求点P到平面MND的距离.
(1)∵四边形ABCD为正方形,∴CD⊥AD, ∵PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,∴PA⊥CD, 又∵PD、CD是平面PCD内的相交直线, ∴CD⊥平面PCD,∵PD?平面PCD,可得CD⊥PD, 因此,∠PDA就是二面角P-CD-B的平面角 ∵Rt△PAD中,PA=AD=2,∴∠PDA=45°, 即二面角P-CD-B的大小为45°; (2)∵PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,∴AB、AD、AP两两互相垂直, 如图所示,分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系,可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2), M(1,0,0),N(1,1,1), ∴
设
可得
∴
∵
即平面MND的法向量与平面PCD的法向量互相垂直,可得平面MND⊥平面PCD; (3)由(2)得
∵
∴点P到平面MND的距离d=
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