初中数学竞赛题目，高手来

Question

口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个。任取10个，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，求取法种数
A.14 B.16 C.18 D.20
感觉与高中的排列组合有关。请高手告诉我具体的分析思路。

方程x^3+x^2+5x=y^3-y+2的整数解(x,y)的个数是
A.0 B.1 C.3 D.无穷
求整数解的题怎样搞啊？有些题目，完全是代数的，没有具体的数字，然后要求整数解，请问这些算不出具体数字只用代数式表示的怎样才是整数？

Answer 1

哦，这些题目在高中竞赛数学中是一类问题，不定方程求解。

比如说问题一可以转化为
x+y+z=10,2<=x<=8,y>=2,z<=3

一般实现找出一组解之后再找其他解

本题过程：
白 红 黑
8 2 0
7 3 0
6 4 0
5 5 0
7 2 1
6 3 1
5 4 1
4 5 1
6 2 2
5 3 2
4 4 2
3 5 2
5 2 3
4 3 3
3 4 3
2 5 3
共16组，由于黑球个数好定，按黑球0，1，2，3计
共4+4+4+4＝16

其实发现，无论红，黑球数如何，白球一定在范围内
则红，黑各4种取法
4*4＝16
红球个数不少于2,所以白球一定不会多于8个。红球一共才5个，而黑球又不许多于3个，所以白球一定不会少于2个，否则凑不够10个。所以只要考虑红球和黑球的组合就行。红球有2,3,4,5四种，黑球有0,1,2,3四种,故总取法有：4*4＝16种，选B

问题二这种类型，用同余做

过程：
左边＝x(x+1)(x+5)
x,(x+1),(x+5)这三个数中必有1个被3整除.
所以 x^3+x^2+5x=x(x+1)(x+5)是3的倍数
y^3-y=y(y+1)(y-1)
是三个连续的整数，
所以其中必有1个被3整除。
所以x^3+x^2+5x-(y^3-y)是3的倍数，
而2不能被3整除，所以方程无解。

关键是要找到那个除数

Answer 2

1.白 红 黑
8 2 0
7 3 0
6 4 0
5 5 0
7 2 1
6 3 1
5 4 1
4 5 1
6 2 2
5 3 2
4 4 2
3 5 2
5 2 3
4 3 3
3 4 3
2 5 3
共16组，由于黑球个数好定，按黑球0，1，2，3计
共4+4+4+4＝16

其实发现，无论红，黑球数如何，白球一定在范围内
则红，黑各4种取法
4*4＝16
红球个数不少于2,所以白球一定不会多于8个。红球一共才5个，而黑球又不许多于3个，所以白球一定不会少于2个，否则凑不够10个。所以只要考虑红球和黑球的组合就行。红球有2,3,4,5四种，黑球有0,1,2,3四种,故总取法有：4*4＝16种，选B

2.( A )
解：0组解，选A.左边＝x(x+1)(x+5)
x,(x+1),(x+5)这三个数中必有1个被3整除.
所以 x^3+x^2+5x=x(x+1)(x+5)是3的倍数
y^3-y=y(y+1)(y-1)
是三个连续的整数，
所以其中必有1个被3整除。
所以x^3+x^2+5x-(y^3-y)是3的倍数，
而2不能被3整除，所以方程无解。本回答被提问者采纳

Answer 3

黑的可以取0个、1个2个、3个分别讨论；4+4+4+4=16。要求x和y都是整数的解，本题无解，否则方程左边被3除余数是0或1，而方程右边的余数是2，矛盾。

Answer 4

B
c