复变函数函数证明题

Question

如题所述

Answer 1

待证命题实际上是解析函数的平均值定理：

如果函数f(z)在单连通域D上解析，z0是区域D内的一点，曲线C是区域D内以z0点为圆心的圆周，那么f(z0)等于函数f(z)在曲线C上的平均值，即

f(z0)=1/2π*∫f(z0+re^iΘ)dΘ，其中r是圆周C的半径，积分范围是0到2π

因此这道题的关键在于通过这个调和函数u(x,y)构造出解析函数f(z)

下面给出构造得到的解析函数f(z):

设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u，v都是实函数，并且v函数满足：

可以证明v是u的共轭调和函数，而且u、v满足柯西黎曼方程，因此函数f(z)是区域D上的解析函数

(详细过程这里没有给出，可以参考这篇论文：《由调和函数构造解析函数的一种方法》，可以在中国知网查找)

因此根据柯西积分公式

由于C圆周的特殊性，可以令

所以

由实部和虚部对应相等即得到待证命题

Answer 2