对勾函数f(x)=x+k/x的定义域值域单调性最值奇偶性

Question

求推导方法！证明步骤！急~

Answer 1

你好！

首先，定义域 x≠0，关于原点对称

f(-x) = - x - k/x = - f(x)

所以是奇函数

当k<0时，f(x) 在(-∞,0)，(0,+∞)均单调递增，值域为R

当k=0时，f(x) = x，x≠0,单调递增，值域为 (-∞,0)∪(0,+∞)

但以上两者都不是对勾函数

当k>0时，f(x)才是对勾函数

f(x) = x + k/x ，（k>0）

f'(x) = 1 - k/x² = 0

解得 x = ±√k

x         (-∞,-√k)     -√k      (-√k，0)   (0，√k)      √k         (√k，+∞)

f'(x)        ＋            0              －           －           0               ＋

f(x)         增        极大值        减            减       极小值          增

当x<0时，x= -√k处取得最大值，f(-√k) = - 2√k

当x>0时，x= √k 处取得最小值，f(√k) = 2√k

值域：(-∞,-2√k]∪[2√k,+∞)

注意：就整个函数而言是没有最值的，上面的最值只是x<0和x>0部分的最值。 

附：y=x+k/x的图像（点击可查看大图）

红色：k>0，以k=1为例

紫色：k=0

蓝色：k<0，以k= -1为例

Answer 2

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