线性代数：已知矩阵A的伴随矩阵A*=diag(1,1,1,8)，且ABA(-1)=BA(-1)+3

Question

线性代数：已知矩阵A的伴随矩阵A*=diag(1,1,1,8)，且ABA(-1)=BA(-1)+3E（意思是矩阵A×矩阵B×逆矩阵A=矩阵B×逆矩阵A+3E），求B

Answer 1

首先有三个等式(A是可逆的)
A^(-1)=A*/|A|
A
A*=diag(|A|,|A|,|A|,|A|)=|A|
E
|A|
|A*|=|A|^n
即|A*|=|A|^(n-1)本题n＝4
由已知
ABA^(-1)=BA^(-1)+3E
等式两边左乘A*,
右乘A,
得
|A|B
=
A*B+3|A|E
因为
|A*|
=
8
=
|A|^(4-1)
所以
|A|
=
2
2B
=
A*B+6E
即(2E-A*)B
=
6E
所以
B
=
6(2E-A*)^(-1)=
6diag(1,1,1,-6)^(-1)
=
6diag(1,1,1,-1/6)
=
diag(6,6,6,-1).