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一.知识集锦
1.直线和圆的位置关系
① 相交：直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。② 相切：直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。
③ 相离：直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离。
④ 直线和圆的位置关系
2.圆的切线
① 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。如图，直线l就是⊙O的切线。此外，经过圆心且垂直于切线的直线一定过切点；垂直于切线且过切点的直线必过圆心。
② 切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径。如上图，若直线l是⊙O的切线，A为切点，则l丄OA.
3. 切线长
① 切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
② 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，B切点分别为A，B，则PA=PB，∠OPA=∠OPB.
4.切线的判定和性质的应用
(1)辅助线的作法运用切线的性质来进行计算或论证的常见辅助线是连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题。
(2) 证明直线与圆相切的三种途径
●证直线和圆有唯一公共点（即运用定义）①.●证直线过半径外端且垂直于这条半径（即运用判定定理）②.
●证圆心到直线的距离等于圆的半径（即证d=r)③.
当题目已知直线与圆的公共点时，一般用方法②，当题目未知直线与圆的公共点时，一般用方法③，方法①运用较少。
二.例题详解
如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，点E为AC的中点，连结DE。
(1)若AD=DB，OC=5，求切线AC的长。
[解答]
如图所示，连接CD。∵BC为⊙O的直径，且点D在⊙O上，
∴∠ADC=∠BDC=90°。又∵E为AC中点，
∴在Rt△ADC中，DE=EA=EC。
又∵AD=DB，∴DE为△ABC的中位线，
故DE=BC，∴AC=2AE=2DE=BC=2OC=10。
[思路解析]
本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题。根据题意，观察上图可知BC为⊙O的直径，依据圆周角定理:半圆(或直径)所对的圆周角是直角，得△ADC为直角三角形，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可求出AC长。
(2) 求证:DE是⊙O的切线。
[解答]
证:连接OD、CD。由(1)可得DE=EA=EC，
∴∠EDC=∠ECD。又∵AC为⊙O切线，
∴∠BCA=90°∴∠OCD+∠DCE=90°。
又∵OD=OC，∴∠OCD=∠ODC，
∴∠ODC+∠EDC=90°，即OD丄DE。
又∵OD为⊙O半径，∴ED为⊙O的切线。
[思路解析]
依题意，先利用直径所对的圆周角为直角得出△ADC为直角三角形，再运用直角三角形斜边中线等于斜边一半和角的等量代换证得OD丄DE，根据圆切线的判定定理可证得ED为⊙O的切线。
[解题小结]
证明一条直线是圆的切线的常见方法有两种：①当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“作半径，证垂直”；②当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”
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一.知识集锦
1.直线和圆的位置关系
① 相交：直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。② 相切：直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。
③ 相离：直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离。
④ 直线和圆的位置关系
2.圆的切线
① 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。如图，直线l就是⊙O的切线。此外，经过圆心且垂直于切线的直线一定过切点；垂直于切线且过切点的直线必过圆心。
② 切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径。如上图，若直线l是⊙O的切线，A为切点，则l丄OA.
3. 切线长
① 切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
② 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，B切点分别为A，B，则PA=PB，∠OPA=∠OPB.
4.切线的判定和性质的应用
(1)辅助线的作法运用切线的性质来进行计算或论证的常见辅助线是连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题。
(2) 证明直线与圆相切的三种途径
●证直线和圆有唯一公共点（即运用定义）①.●证直线过半径外端且垂直于这条半径（即运用判定定理）②.
●证圆心到直线的距离等于圆的半径（即证d=r)③.
当题目已知直线与圆的公共点时，一般用方法②，当题目未知直线与圆的公共点时，一般用方法③，方法①运用较少。
二.例题详解
如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，点E为AC的中点，连结DE。
(1)若AD=DB，OC=5，求切线AC的长。
[解答]
如图所示，连接CD。∵BC为⊙O的直径，且点D在⊙O上，
∴∠ADC=∠BDC=90°。又∵E为AC中点，
∴在Rt△ADC中，DE=EA=EC。
又∵AD=DB，∴DE为△ABC的中位线，
故DE=BC，∴AC=2AE=2DE=BC=2OC=10。
[思路解析]
本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题。根据题意，观察上图可知BC为⊙O的直径，依据圆周角定理:半圆(或直径)所对的圆周角是直角，得△ADC为直角三角形，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可求出AC长。
(2) 求证:DE是⊙O的切线。
[解答]
证:连接OD、CD。由(1)可得DE=EA=EC，
∴∠EDC=∠ECD。又∵AC为⊙O切线，
∴∠BCA=90°∴∠OCD+∠DCE=90°。
又∵OD=OC，∴∠OCD=∠ODC，
∴∠ODC+∠EDC=90°，即OD丄DE。
又∵OD为⊙O半径，∴ED为⊙O的切线。
[思路解析]
依题意，先利用直径所对的圆周角为直角得出△ADC为直角三角形，再运用直角三角形斜边中线等于斜边一半和角的等量代换证得OD丄DE，根据圆切线的判定定理可证得ED为⊙O的切线。
[解题小结]
证明一条直线是圆的切线的常见方法有两种：①当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“作半径，证垂直”；②当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”
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温馨提示：答案为网友推荐，仅供参考
第1个回答 2021-12-09
简单计算一下即可，答案如图所示
为啥第二小题D＝根号5
追答勾股定理，
半弦长为2
半径为3
可以复习一下垂径定理
第2个回答 2021-12-09
解如下图所示
第3个回答 2021-12-09
(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9
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