设A,B均为n阶方阵，证明下列命题等价。

1.AB=BA
2.(A ± B)^2 = A^2 ± 2AB + B^2
3(A+B)(A-B)= A^2 - B^2

举报该问题

第1个回答 2012-07-04

显然
(A±B)^2=(A±B)(A±B)=A^2 ±AB ±BA +B^2，
而(A+B)(A-B)= A^2 -AB +BA -B^2，
若AB=BA，
则
(A±B)^2=A^2 ±AB ±BA +B^2=A^2 ±2AB +B^2，
而(A+B)(A-B)= A^2 -AB +BA -B^2=A^2 -B^2

同理，
如果是
(A±B)^2 = A^2 ± 2AB + B^2

或(A+B)(A-B)= A^2 - B^2 成立的话，
也可以推导出AB=BA

因此
这三个命题是等价的本回答被提问者和网友采纳

第2个回答 2012-07-04

A=B=0

相似回答

离散数学:对于实n阶方阵A,B,C,试证明下列关系是等价关系答：A=IAI，I是单位阵，所以A等价于A。若A等价于B，则存在非奇异矩阵P,Q,使得B=PAQ。非奇异矩阵P,Q有逆矩阵P1和Q1，所以P1BQ1=A。对称性：设 <a,b>∈S，则有 c∈A，使<a,c>∈R，<c,b>∈R，而R具传递对称性，得<c,a>∈R，<b,c>∈R，由S的定义，得 <b,a>∈S，对称性得证。

设A,B是n阶方阵,满足AB=A-B,证明AB=BA答：证：首先由AB=A+B得：AB-A-B+E=E 则(A-E)(B-E)=E,从而A-E可逆再由(A-E)(B-E)=E=(B-E)(A-E),知AB=BA 在线性代数和矩阵论中，有两个m×n阶矩阵A和B，如果这两个矩阵满足B=QAP（P是n×n阶可逆矩阵，Q是m×m阶可逆矩阵），那么这两个矩阵之间是等价关系。也就是说，...

证明:设A,B均为n阶方阵,若|A+B|不为零,且AB=BA,则(A-B)(A+B)^*=(A...答：因为AB=BA，所以 (A+B)(A-B)=A^2-AB+BA-B^2=A^2-B^2 (A-B)(A+B)=A^2+AB-BA-B^2=A^2-B^2 也就是说(A+B)(A-B)=(A-B)(A+B)那么(A+B)^*(A-B)(A+B) = (A+B)^*(A+B)(A-B) = d(A-B)(A-B)(A+B)^*(A+B) = (A-B)d 其中d=n|A+B| ...

设A,B都是n阶方阵,且|A|≠0,证明AB与BA相似答：证明：由于矩阵A可逆，因此A-1存在，故 A-1（AB）A=（A-1A）BA=BA，故AB与BA相似数值分析的主要分支致力于开发矩阵计算的有效算法，这是一个几个世纪以来的课题，是一个不断扩大的研究领域。矩阵分解方法简化了理论和实际的计算。针对特定矩阵结构（如稀疏矩阵和近角矩阵）定制的算法在有限元...

大家正在搜

设AB为n阶方阵 A不等于0 设AB均为n阶方阵则必有假设AB均为n阶方阵 ab均为n阶方阵,AB=0 AB均为n阶矩阵AB的逆设n阶方阵A和B只有最后一列不同设AB均为n阶矩阵设AB均为方阵已知A和B均为五阶方阵