设f（x）在[0，1]上连续，且单调不增，证明：任给α∈（0，1），有∫α0f（x）dx≥α∫10f（x）dx

设f（x）在[0，1]上连续，且单调不增，证明：任给α∈（0，1），有∫α0f（x）dx≥α∫10f（x）dx．

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函数fx[0,1]上单调不增,证明对任意a∈(0,1)有∫(a,0)fxdx≥a∫(1,0...答：所以我们有两个式子左式为从0~a的定积分右式为a*(0~a+f(a)*(1-a))把两侧同减a*(0~a)左式变成(0~a)*(1-a)右式变成f(a)*(1-a)*a 同除(1-a),此项恒正所以不用变号左式变成(0~a)右式变成f(a)*a 在由中间值定理可知,存在一常数c在0~a间使得定积分(0~a) = f...

设f(x)在[0,1]上连续,且单调不增,证明∫(α,0)f(x)dx>=α∫(1,0)f...答：因此F'(α)先大于0，然后小于0；也就是说F(α) 先单调增加，然后单调减少。因此F(α) 在[0,1]上的最小值在端点处取得。而F(0) = F(1) = 0,总而知在0<α<1时，F(α) ≥ 0，证毕！

f(x)在[0,1]上连续且f(x)单调递减α∈(0,1)证明α∫(0,1)f(x)dx≤...答：f(x)dx＝f(η)(1−α)，因为：η≥α≥ξ，所以：f（η）≤f（ξ），则：α ∫ 1 0 f(x)dx＝α ∫ α 0 f(x)dx+α ∫ 1 α f(x)dx＝α2f(ξ)+αf(η)(1−α)≤α2f(ξ)+αf(ξ)(1−α)＝αf(ξ)＝ ∫ α 0 f(x)dx．

f(x)在[0,1]上有意义,单调不增,证明对任何0<a<1有∫(a,0)f(x)dx>=...答：1-a)[f(u)-f(v)。最后第二个等式是根据f(x)在[0,1]上连续，利用积分中值定理得到，其中 0≤u≤a≤v≤1。根据f(x)在[0,1]上单调减少，所以有f(u)≥f(v)，这就得到了 ∫(0→a)f(x)dx-a∫(0→1)f(x)dx≥0，即 ∫(0→a)f(x)dx≥a∫(0→1)f(x)dx(0<a<1)。

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